2019新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.1 课时作业54 求值、化简

课时作业54求值、化简与证明课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练知识对点练知识对点练课时综合练知识点一化简与求值1.化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于()A．1B．2C．tan10°D．3tan20°答案A答案知识对点练课时综合练解析原式＝tan10°tan20°＋3tan20°＋3tan10°＝3(tan10°＋tan20°＋33tan10°tan20°)＝31－tan10°·tan20°tan30°＋33tan10°tan20°＝3tan30°＝1，故选A．解析知识对点练课时综合练2．函数f(x)＝cosx＋π4－cosx－π4是()A．周期为π的偶函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为2π的奇函数答案D答案知识对点练课时综合练解析因为f(x)＝cosx＋π4－cosx－π4＝22cosx－22sinx－22cosx＋22sinx＝－2sinx，所以函数f(x)的最小正周期为2π1＝2π.又f(－x)＝－2·sin(－x)＝2sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选D．解析知识对点练课时综合练3．已知tan(α＋β)＝3，tanα＋π4＝2，那么tanβ＝________.解析由题意，tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝2，则tanα＝13.又tan(α＋β)＝tanβ＋tanα1－tanαtanβ＝3，所以tanβ＝43.解析答案43答案知识对点练课时综合练4．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ＝________.解析因为tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，所以1－tanαtanβ＝tanα＋tanβtanα＋β＝24＝12，所以tanα·tanβ＝1－12＝12.解析答案12答案知识对点练课时综合练5.tan18°＋tan42°＋tan120°tan18°tan42°tan60°＝________.解析因为tan18°＋tan42°＋tan120°＝tan60°(1－tan18°tan42°)＋tan120°＝－tan60°tan18°tan42°，所以原式＝－1.解析答案－1答案知识对点练课时综合练6．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝45，β是第三象限的角，求sinβ＋π4的值．解sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，∴sinβ＝－45.又β是第三象限的角，∴cosβ＝－35.∴sinβ＋π4＝sinβcosπ4＋cosβsinπ4＝－45×22－35×22＝－7210.答案知识对点练课时综合练7．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cosπ4＋α＝－35，sin3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解因为π4＜α＜3π4，所以π2＜π4＋α＜π.因为cosπ4＋α＝－35，所以sinπ4＋α＝45.因为0＜β＜π4，所以3π4＜3π4＋β＜π.答案知识对点练课时综合练因为sin3π4＋β＝513，所以cos3π4＋β＝－1213.因为3π4＋β＋π4＋α＝π＋α＋β，所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]＝－sin3π4＋β＋π4＋α＝－sin3π4＋βcosπ4＋α－cos3π4＋βsinπ4＋α＝－513×－35－－1213×45＝6365.答案知识对点练课时综合练知识点二三角函数式的证明8.证明：sin(α＋β)－2cosαsinβ＝tan(α－β)[2cosαcosβ－cos(α＋β)]．证明左边＝sin(α＋β)－2cosαsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2cosαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)，右边＝tan(α－β)[2cosαcosβ－cos(α＋β)]＝tan(α－β)(2cosαcosβ－cosαcosβ＋sinαsinβ)＝tan(α－β)(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝tan(α－β)cos(α－β)＝sin(α－β)，等式成立．答案知识对点练课时综合练9．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β，并利用该式计算sin220°＋sin80°·sin40°的值．解左边＝sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β＝sin2α－sin2β＝右边．∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β.∴sin220°＋sin80°·sin40°＝sin220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin220°＋sin260°－sin220°＝sin260°＝34.答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课时综合练知识对点练课时综合练一、选择题1．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝()A．0B．3C．12D．1解析∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，∴cosα(sinβ＋cosβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)．∵α，β均为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0，∴cosα＝sinα，∴tanα＝1.解析答案D答案知识对点练课时综合练2．已知sinα＋π6＋cosα＝－33，则cosπ6－α＝()A．－223B．223C．－13D．13解析由sinα＋π6＋cosα＝－33，得sinα＋π3＝－13，所以cosπ6－α＝cosπ2－α＋π3＝sinα＋π3＝－13.解析答案C答案知识对点练课时综合练3．在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定解析sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB＝sinA≥1，∴sinA＝1，∴∠A＝90°.解析答案C答案知识对点练课时综合练4．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析由题意知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝31－2＝－3.解析答案A答案知识对点练课时综合练5．已知sinα＝12，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tanβ的值为()A．－3B．3C．－33D．33答案C答案知识对点练课时综合练解析∵α为第二象限角，∴cosα＜0，cosα＝－32，∴tanα＝－33.tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tanα＋β－tanα1＋tanα＋β·tanα＝－3＋331＋－3·－33＝－33.解析知识对点练课时综合练二、填空题6．已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝1213，则tanα＋π4＝________.答案3356答案知识对点练课时综合练解析∵α，β∈3π4，π，∴α＋β∈3π2，2π，β－π4∈π2，3π4.又∵sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝1213，∴cos(α＋β)＝1－sin2α＋β＝45，cosβ－π4＝－1－sin2β－π4＝－513.解析知识对点练课时综合练∴tan(α＋β)＝sinα＋βcosα＋β＝－34，tanβ－π4＝sinβ－π4cosβ－π4＝－125.∴tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝－34－－1251＋－34×－125＝3356.解析知识对点练课时综合练7．已知△ABC中，3tanAtanB－tanA－tanB＝3，则C的大小为________．解析依题意，tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A＋B)＝－3.又∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC＝－3，即tanC＝3.∵0Cπ，∴C＝π3.解析答案π3答案知识对点练课时综合练8．(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·(1＋tan3°)·…·(1＋tan44°)·(1＋tan45°)的值是________．解析若A＋B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝1＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝2，所以原式＝[(1＋tan1°)(1＋tan44°)]·[(1＋tan2°)(1＋tan43°)]·…·[(1＋tan22°)(1＋tan23°)]·(1＋tan45°)＝223.解析答案223答案知识对点练课时综合练三、解答题9．已知tanπ4＋α＝2，tanβ＝12.(1)求tanα的值；(2)求sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β的值．解(1)因为tanπ4＋α＝2，所以tanπ4＋tanα1－tanπ4tanα＝2，所以1＋tanα1－tanα＝2，解得tanα＝13.答案知识对点练课时综合练(2)sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝cosαsinβ－sinαcosβcosαcosβ＋sinαsinβ＝sinβ－αcosβ－α＝tan(β－α)＝tanβ－tanα1＋tanβtanα＝12－131＋12×13＝17.答案知识对点练课时综合练10．已知△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．解∵3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，∴3(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－33，∴tan(A＋B)＝－33.又∵0A＋B＜π，∴A＋B＝5π6，∴C＝π6，答案知识对点练课时综合练∵tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，tanC＝33，∴tanB＋33＋tanB＝3，∴tanB＝33，∴B＝π6，∴A＝2π3，∴△ABC为等腰钝角三角形．答案