2019秋高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象课件 新人教A版必修4

第一章三角函数1．4.3正切函数的性质与图象[学习目标]1.推导并理解正切函数在区间－π2，π2内的性质(重点)．2.能画出y＝tanx的图象通过正切函数的图象的作图过程，进一步体会函数线的作用(重点)．3.会用正切函数的性质解决有关问题(重点、难点)．[知识提炼·梳理]解析式y＝tanx图象定义域xx∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z值域R周期π奇偶性奇单调性在区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上都是增函数温馨提示函数y＝tanx的对称中心的坐标是kπ2，0，(k∈Z)，不是(kπ，0)(k∈Z)．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数在整个定义域内是增函数．()(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．()(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.()(4)函数y＝tanx为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x)＝－tanx.()解析：(1)错误．如x1＝π4，x2＝2π3，但tanπ4tan2π3，不符合增函数的定义．(2)错误．正切函数在每个单调区间上都为增函数．(3)错误．正切函数图象相邻两个对称中心的距离为半周期π2，故此说法是错误的．(4)错误．当x＝π2＋kπ(k∈Z)时，tanx没有意义，此时式子tan(－x)＝－tanx不成立．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列说法正确的是()A．y＝tanx是增函数B．y＝tanx在第一象限是增函数C．y＝tanx在某一区间上是减函数D．y＝tanx在区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数解析：由正切函数的图象可知D正确．答案：D3．函数y＝tanx2＋π3的单调递增区间是()A．(－∞，＋∞)B.2kπ－5π6，2kπ＋π6，k∈ZC.2kπ－5π3，2kπ＋π3，k∈ZD.kπ－5π3，kπ＋π3，k∈Z解析：因为y＝tanx的单调递增区间为kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z，所以令kπ－π2＜x2＋π3＜kπ＋π2，k∈Z，所以2kπ－5π3＜x＜2kπ＋π3，k∈Z.答案：C4.函数y＝tanx－π4≤x≤π4且x≠0的值域是_____．解析：因为－π4≤x≤π4且x≠0，所以－1≤tanx0或0tanx≤1.答案：[－1，0)∪(0，1]5．在(0，2π)内，使tanx＞1成立的x的取值范围为__________．解析：所求x的取值范围为函数y＝tanx的图象位于y＝1上方的部分对应的x的取值范围．答案：π4，π2∪54π，32π类型1正切函数的定义域、值域问题[典例1](1)函数y＝lg(3－tanx)的定义域为____；(2)函数y＝tan2x－2tanx|x|≤π3的值域为________．解析：(1)因为3－tanx0，所以tanx3.又因为tanx＝3时，x＝π3＋kπ(k∈Z)，根据正切函数图象，得kπ－π2xkπ＋π3(k∈Z)，所以函数的定义域是xkπ－π2xkπ＋π3，k∈Z.(2)令u＝tanx，因为|x|≤π3，所以由正切函数的图象知u∈[－3，3]，所以原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－3，3]，因为二次函数图象开口向上，对称轴方程为u＝1，所以当u＝1时，ymin＝12－2×1＝－1，当u＝－3时，ymax＝3＋23，所以原函数的值域为[－1，3＋23]．答案：(1)xkπ－π2xkπ＋π3，k∈Z(2)[－1，3＋23]归纳升华1．求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠π2＋kπ，k∈Z.2．求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意“新元”的范围．[变式训练](1)x∈[0，2π]，y＝tanx＋－cosx的定义域为()A.0，π2B.π2，πC.π，3π2D.3π2，2π(2)求函数y＝tanx2＋π3，x∈0，π3∪π3，π的值域．(1)解析：由题意得tanx≥0，－cosx≥0，0≤x≤2π，解得函数的定义域为π，3π2.答案：C(2)解：因为x∈0，π3∪π3，π，所以x2＋π3∈π3，π2∪π2，5π6.令t＝x2＋π3，由y＝tant，t∈π3，π2∪π2，5π6的图象，可得所求函数的值域为－∞，－33∪3，＋∞.类型2正切函数的单调性及其应用(互动探究)[典例2](1)比较下列两个数的大小(用“”或“”填空)：①tan2π7________tan10π7；②tan6π5________tan－13π5；(2)求函数y＝tan12x＋π4的单调递增区间．(1)解析：①tan10π7＝tan3π7，且02π73π7π2，又y＝tanx在0，π2上单调递增，所以tan2π7tan3π7，即tan2π7tan10π7.②tan6π5＝tanπ5，tan－13π5＝tan2π5，因为0π52π5π2，又y＝tanx在0，π2上单调递增，所以tanπ5tan2π5，则tan6π5tan－13π5.答案：①②(2)解：令z＝12x＋π4，则y＝tan12x＋π4＝tanz.由于函数y＝tanz在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是增函数，且z＝12x＋π4是增函数，由－π2＋kπ12x＋π4π2＋kπ，k∈Z.解得：－3π2＋2kπxπ2＋2kπ，k∈Z.所以函数y＝tan12x＋π4的递增区间为－3π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)．[迁移探究]求函数y＝3tan－12x＋π4的单调递减区间．解：y＝3tan－12x＋π4可化为y＝－3tan12x－π4，由kπ－π2＜12x－π4＜kπ＋π2，k∈Z，得2kπ－π2＜x＜2kπ＋3π2，k∈Z，故单调递减区间为2kπ－π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．归纳升华1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法：(1)若ω0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2ωx＋φkπ＋π2(k∈Z)，解得x的范围；(2)若ω0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想．2．运用正切函数单调性比较大小的方法：(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；(2)运用单调性比较大小．类型3正切函数的奇偶性与周期性[典例3](1)函数y＝－tanπ3x＋35的最小正周期为________．(2)试判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝sinx＋tanx；②f(x)＝tan2x－tanx1－tanx.(1)解析：由于－tanπ3x＋35＝－tanπ3x＋35＋π＝－tanπ3（x＋3）＋35，根据周期函数的定义知，函数y＝－tanπ3x＋35的最小正周期是3.答案：3(2)解：①f(x)的定义域为x|x≠kπ＋π2，k∈Z，其关于原点对称．因为f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以函数f(x)＝sinx＋tanx是奇函数．②由题意，得tanx≠1，且x≠kπ＋π2，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋π2，且x≠kπ＋π4，k∈Z}，其不关于原点对称．所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．归纳升华1．一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．2．判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．[变式训练]直线y＝3与函数y＝tanωx(ω0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是()A．πB.2πωC.π2ωD.πω解析：由于正切函数在一周期内为单调递增函数，所以相邻两交点间的距离为一个周期．答案：D1．正切函数的性质与最小正周期．(1)正切函数的三条性质．①对称性：正切函数图象的对称中心是kπ2，0(k∈Z)，不存在对称轴．②单调性：正切函数在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．③有渐近线：直线x＝kπ＋π2(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，渐近线把正切曲线分成无数个不连续的部分．正切曲线在渐近线右侧向下无限接近渐近线，在渐近线左侧向上无限接近渐近线．(2)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝π|ω|.2．“三点两线法”作正切曲线的简图．(1)“三点”分别为(kπ，0)，kπ＋π4，1，kπ－π4，－1，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋π2和直线x＝kπ－π2，其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内.