2019秋高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件 新人教A版必修4

第一章三角函数1．2.2同角三角函数的基本关系[学习目标]1.会推导同角三角函数的基本关系式(重点)．2.能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：sinαcosα＝tanαa≠kπ＋π2，k∈Z.2．公式变形(1)sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(2)sinα＝cosα·tanαα≠kπ＋π2，k∈Z，cosα＝sinαtanαα≠kπ2，k∈Z.温馨提示sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α的平方的正弦．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin24α＋cos24α＝1都成立．()(2)对任意角α，sinα2cosα2＝tanα2都成立．()(3)sin2α与sinα2所表达的意义相同．()(4)若sinα＝0，则cosα＝1.()解析：(1)正确．当角α∈R时，sin24α＋cos24α＝1都成立，所以正确．(2)错误．当α2＝kπ＋π2，k∈Z，即α＝2kπ＋π，k∈Z时，tanα2没意义，故sinα2cosα2＝tanα2不成立，所以错误．(3)错误．sin2α是(sinα)2的缩写，表示角α的正弦的平方，sinα2表示角α2的正弦，故两者意义不同，此说法是错误的．(4)错误．当α＝π时，sinα＝0，而cosα＝－1.答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．下列四个结论中可能成立的是()A．sinα＝12且cosα＝12B．sinα＝0且cosα＝－1C．tanα＝1且cosα＝－1D．α是第二象限角时，tanα＝－sinαcosα解析：根据同角三角函数的基本关系验证，因为当α＝π时，sinα＝0且cosα＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立．答案：B3．若sinx＋sin2x＝1，则cos2x＋cos4x的值是()A．0B．1C．2D．3解析：由已知sinx＝1－sin2x＝cos2x，所以cos2x＋cos4x＝cos2x＋(cos2x)2＝cos2x＋sin2x＝1.答案：B4.已知α∈π，3π2，tanα＝2，则cosα＝_______．解析：依题意得tanα＝sinαcosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝15.又α∈π，3π2，因此cosα＝－55.答案：－555．已知3sinα＋cosα＝0，则tanα＝________．解析：由题意得3sinα＝－cosα≠0，所以tanα＝－13.答案：－13类型1利用同角三角函数的基本关系求值[典例1]已知tanαtanα－1＝2，求下列各式的值．(1)2sinα－3cosα4sinα－9cosα；(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.解：由tanαtanα－1＝2，得tanα＝2.(1)注意到分式的分子和分母均是关于sinα，cosα的一次式，可得分子、分母同除以cosα(因为cosα≠0)，然后代入tanα＝2.2sinα－3cosα4sinα－9cosα＝2tanα－34tanα－9，因为tanα＝2，所以原式＝2×2－34×2－9＝－1.(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝4sin2α－3sinαcosα－5cos2αsin2α＋cos2α＝4tan2α－3tanα－5tan2α＋1因为tanα＝2，所以原式＝4×4－3×2－54＋1＝1.归纳升华三角函数求值的常用方法1．若已知tanα＝m求其他三角函数值，其方法是解方程组tanα＝m，sin2α＋cos2α＝1求出sinα和cosα的值．2．整体代入求值．如果三角函数式能化为关于“sinα”与“cosα”的齐次式，可除以“cosα”或“cos2α”转化为切函数求值．3．一般地，知道sinα±cosα，sinα·cosα三式中一式的值，便可求另外两式的值．其关键在于运用方程思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα进行等价转化，找到解决问题的突破口．[变式训练]已知tanα＝43且角α在第三象限，求sinα，cosα的值．解：由tanα＝sinαcosα＝43，得sinα＝43cosα.又sin2α＋cos2α＝1，所以169cos2α＋cos2α＝1.即cos2α＝925.又角α在第三象限，所以cosα＝－35，所以sinα＝43cosα＝－45.类型2化简三角函数式[典例2](1)若α为第二象限角，则sin2α－sin4αcosα＝()A．sinαB．－sinαC．cosαD．－cosα(2)化简：1＋sinα1－sinα－1－sinα1＋sinα，其中α为第三象限的角．(1)解析：sin2α－sin4α＝sin2α（1－sin2α）＝sin2α·cos2α＝|sinαcosα|.因为α为第二象限角，则cosα0，sinα0，则|sinαcosα|＝－sinαcosα，所以原式＝－sinα.答案：B(2)解：因为α为第三象限的角，所以－1sinα0，－1cosα0，1＋sinα0，1－sinα0.则1＋sinα1－sinα－1－sinα1＋sinα＝（1＋sinα）2（1－sinα）（1＋sinα）－（1－sinα）2（1－sinα）（1＋sinα）＝（1＋sinα）－（1－sinα）|cosα|＝2sinα－cosα＝－2tanα.归纳升华1．化简三角函数式的一般要求：(1)函数种类最少，项数最少，次数最低；(2)尽量使分母不含三角函数式，根号内的三角函数式尽量开出来；(3)能求值的把值求出来．2．三角函数式化简技巧：(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．[变式训练]化简：sin2xsinx－cosx－sinx＋cosxtan2x－1.解：原式＝sin2xsinx－cosx－sinx＋cosxsin2xcos2x－1＝sin2xsinx－cosx－cos2x（sinx＋cosx）sin2x－cos2x＝sin2x－cos2xsinx－cosx＝sinx＋cosx.类型3三角恒等式的证明(巧思妙解)[典例3]求证：sinα－cosα＋1sinα＋cosα－1＝1＋sinαcosα.[常规解法]法一左边＝（sinα－cosα＋1）（sinα＋cosα＋1）（sinα＋cosα－1）（sinα＋cosα＋1）＝（sinα＋1）2－cos2α（sinα＋cosα）2－1＝sin2α＋2sinα＋1－1＋sin2α1＋2sinαcosα－1＝2sinα（1＋sinα）2sinαcosα＝1＋sinαcosα＝右边．所以原式成立．法二左边－右边＝cosα（sinα－cosα＋1）－（1＋sinα）（sinα＋cosα－1）cosα（sinα＋cosα－1）＝sinαcosα－cos2α＋cosα－sinα－cosα＋1－sin2α－sinαcosα＋sinαcosα（sinα＋cosα－1）＝0，所以，左边＝右边，原式成立．[巧妙解法]由cos2α＝1－sin2α得－cos2α＝(sinα＋1)(sinα－1),所以sinα＋1cosα＝－cosαsinα－1，由等比定理得sinα＋1cosα＝sinα＋1－cosαcosα＋sinα－1，所以，原式成立.归纳升华1．证明三角恒等式时，根据要证等式的结构特征，利用平方关系的变形、等比定理使问题得到解决是一种巧妙解法，证明过程简洁明快．2．利用同角三角函数式证明时注意化异为同，即化异名为同名、化异次为同次等．这些策略的应用很关键，常见转化策略有切化弦、弦化切及平方关系的正向、逆向、变形转化等．[类题尝试]已知cos4Acos2B＋sin4Asin2B＝1，求证：cos4Bcos2A＋sin4Bsin2A＝1.证明：设sin2A＝m(0＜m＜1)，sin2B＝n(0＜n＜1)，则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.由cos4Acos2B＋sin4Asin2B＝1，得（1－m）21－n＋m2n＝1，即(m－n)2＝0.所以m＝n，所以cos4Bcos2A＋sin4Bsin2A＝（1－n）21－m＋n2m＝1－n＋n＝1.1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.2．公式sin2α＋cos2α＝1具有“降幂”的作用，当然如果逆用公式则有“升幂”的作用，故该公式可作为升、降幂公式用．3．已知角α的某种三角函数值求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．若角所在象限已经确定，求另两个三角函数值时，只有一组结果；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两组结果．4．已知sinα＋cosα，sinα－cosα，sinα·cosα三个中的一个，便可求出另外两个，进而求出sinα，cosα，tanα等．5．关于sinα，cosα的齐次式，不管是等式还是给定条件后的分式，可同除以cosα或cos2α化成α的正切函数进行相关计算.