2019秋高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角课件 新人教A版必修4

第一章三角函数1．1任意角和弧度制1．1.1任意角[学习目标]1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角(重点)．2.理解终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合(重点、难点)．3.了解象限角的概念(易错点、易混点)．[知识提炼·梳理]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角温馨提示对角的概念的理解关键是要抓住“旋转”二字，明确旋转方向、旋转量这两个要点．2．象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．温馨提示终边相同的角的通式表达形式不唯一，我们可利用图形来验证它们的等效性，如α＝k·180°＋90°与β＝k·180°－90°都表示终边在y轴上的所有角．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边与始边重合的角是零角．()(2)终边相同的角一定相等．()(3)第一象限角都是锐角．()(4)终边在x轴上的角既是第一象限也是第二象限角．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．指出如图所示的图形中表示一个角的是()ABCD解析：根据角的概念进行判断．答案：C3．在(－360°，0°)内与角1250°终边相同的角是()A．170°B．190°C．－190°D．－170°解析：与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k·360°，因为－360°＜α＜0°，所以－16136＜k＜－12536.因为k∈Z，所以k＝－4，所以α＝－190°.答案：C4．已知α是锐角，则2α是()A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角D．第一或第二象限角解析：由题意知，0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°，所以2α是小于180°的正角．答案：C5．从13：00到14：00，时针转过的角度为________，分针转过的角度为________．解析：经过1小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°.结合负角的定义可知时针转过的角度为－30°，分针转过的角度为－360°.答案：－30°－360°类型1任意角的概念(自主研析)[典例1](1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A．A＝B＝CB．A⊆CC．A⊂C＝BD．B∪C⊆C(2)写出下列说法所表示的角：①顺时针拧螺丝2圈；②将时钟拨慢2时30分，分针转过的角；③向右转体3周．(1)解析：第一象限角可表示为k·360°αk·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°β90°，小于90°的角可表示为γ90°，由三者之间的关系可知B∪C⊆C.答案：D(2)解：①顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此表示的角为－720°.②拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，2时30分是2周半，因此将时钟拨慢2时30分，分针转过的角为900°.③向右转体即按顺时针方向旋转，因此向右转体3周表示的角为－1080°.归纳升华1．对角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待，一是要明确旋转的方向，二是要明确旋转的大小，三是要明确射线未作任何旋转时的位置，从而得到正角、负角、零角的定义．2．判断命题为真需要证明，而判断命题为假只需举出反例．[变式训练](1)下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．90°～180°间的角不一定是钝角D．小于90°的角是锐角(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________．解析：(1)终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于90°～180°间的角包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．(2)∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－(760°－720°)＝－40°.答案：(1)C(2)－40°类型2象限角与区间角的表示(互动探究)[典例2](1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在0°≤α360°范围内，找出下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．①－150°；②730°.(2)如图所示，分别写出符合下列条件的角α的集合：①终边落在射线OB上；②终边落在直线OA上；③终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)①因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°≤α360°范围内，终边与－150°相同的角是210°，它是第三象限角．②因为730°＝2×360°＋10°，所以在0°≤α360°范围内，终边与730°相同的角是10°，它是第一象限角．(2)①终边落在射线OB上的角的集合为{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．②终边落在直线OA上的角的集合为{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．③终边落在第一象限阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在第三象限阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|210°＋k·360°≤α≤240°＋k·360°，k∈Z}，终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为：{α|30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|210°＋k·360°≤α≤240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．[迁移探究1](变换条件)若将典例2(2)图中直线OA改为虚线，其他条件不变，第②问的结果如何？解：{a|30°＋k·180°α≤60°＋k·180°，k∈Z}．[迁移探究2](改变问法)在典例2(2)第③问中，若α在第三象限阴影区域内，试画出角α2的终边所在的阴影区域．解：由题意得，105°＋k·180°≤120°＋k·180°，如图所示：归纳升华1．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，二是将角转化到[0°，360°]范围内．2．表示区间角可分为以下三步：(1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|αxβ}，其中β－α360°；(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．类型3终边相同的角[典例3](1)与45°角终边相同的角是()A．－45°B．225°C．395°D．－315°(2)与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析：(1)与45°角终边相同的角α可写作α＝k·360°＋45°，k∈Z.令k＝－1，得α＝－315°.(2)263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.答案：(1)D(2)C归纳升华终边相同角常用的三个结论：(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[变式训练](1)下列命题中正确的是()A．第一象限角一定不是负角B．小于90°的角一定是锐角C．钝角一定是第二象限角D．终边与x轴的非负半轴重合的角是零角(2)－45°是第______象限角，800°是第______象限角．解析：(1)－300°角与60°角终边相同，落在第一象限，A不正确；小于90°的角有可能是负角，不一定是锐角，B不正确；360°角的终边与x轴的非负半轴重合，D不正确．故选C.(2)将角放在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，看角的终边所在位置，如图①所示，可知－45°是第四象限角，如图②所示，800°＝360°×2＋80°，所以800°是第一象限角．答案：(1)C(2)四一1．在高中阶段，角的概念是以动态观点来刻画的，是角的静态定义的推广．角既可以用图形表示，也可以用实数来度量，任意一个实数添上角度的单位(°)都可以表示一个角的大小．2．对于与角α终边相同的角的一般形式k·360°＋α，k∈Z，应着重从以下几点来理解：(1)k∈Z；(2)α是任意角；(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；(4)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．3．判断任意角所在象限的注意事项：(1)把任意角化为k·360°＋α，k∈Z，且0°≤α360°的形式，关键是确定k；(2)其他范围内符合条件的角必与0°≤α360°内符合条件的角的终边相同.