2019秋高中数学 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积课件 新人教A版必修2

第一章空间几何体1．3.2球的体积和表面积[学习目标]1.了解球的表面积和体积的计算公式(重点)．2.能运用球的面积和体积公式解决实际问题(难点)．[知识提炼·梳理]1．球的表面积与体积公式(1)半径为R的球的体积为V＝43πR3；(2)半径为R的球的表面积S＝4πR2．2．球的截面性质(1)球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：d2＋r2＝R2．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)决定球的大小的因素是球的半径．()(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．()(3)球的体积V与球的表面积S的关系为V＝R3S.()(4)两个球的体积之比等于其半径比的立方．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为()A．1∶9B．1∶27C．1∶3D．1∶1解析：两球的表面积之比为R21∶R22＝1∶9.答案：A3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.4π3B.2π3C.3π2D.π6解析：由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，即半径为1，该球的体积是43×π×13＝4π3.答案：A4．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．解析：因为长方体的顶点都在球O的球面上，所以长方体的体对角线的长度就是球O的直径．设球的半径为R，则2R＝32＋22＋12＝14.所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π×1422＝14π.答案：14π5．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为________．解析：设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小铁球的体积的2倍，即V＝43πR3＝2×43π·13，所以R＝32.答案：32类型1球的体积和表面积的计算(自主研析)[典例1]（1）圆柱形玻璃容器内盛有高度为12cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm.（2）若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球表面积之比．(1)解析：设球半径为rcm，则由3V球＋V水＝V圆柱可得3×43πr3＋πr2×12＝πr2×6r，解得r＝6.故球的半径是6cm.答案：6(2)解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R.则由题意得13πr2·h＝43πR3，r＝2R.所以13π(2R)2·h＝43πR3，所以R＝h，r＝2h，所以l＝r2＋h2＝5h，所以S圆锥侧＝πrl＝π·2h·5h＝25πh2，S球＝4πR2＝4πh2，所以S圆锥侧S球＝25πh24πh2＝52.归纳升华1．要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．2．半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，有关球的表面积或体积的题目也就迎刃而解了．[变式训练]如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍解析：设三个球的半径分别为x，2x，3x，则最大球的半径为3x，其体积V＝43π·(3x)3＝36πx3.又其余两个球的体积之和为43πx3＋43π·(2x)3＝12πx3，所以36πx312πx3＝3.答案：C类型2由三视图求球的体积与表面积[典例2](1)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72πB．48πC．30πD．24π题(1)图题(2)图(2)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为___．解析：(1)由三视图知，该几何体是圆锥和半球的组合体．由三视图知，圆锥底面半径r＝3，则其高h＝52－r2＝4.所以V圆锥＝13π×32×4＝12π.又V半球＝12×43π×33＝18π.故该几何体的体积V＝V圆锥＋V半球＝30π.(2)由三视图知，几何体是个半球，其半径R＝1.故S表＝π×12＋12×4π×12＝3π.答案：(1)C(2)3π归纳升华1．由三视图计算球与球或其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义，根据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．2．计算球与其他几何体的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与连接，避免重叠和交叉．[变式训练]一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为_______．解析：由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和．因为R＝1，所以S＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π.答案：4π类型3球的简单切、接的问题(互动探究)[典例3](1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________．(2)正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．解析：(1)依题意，2R＝2，所以R＝1.所以球的体积V球＝43π×13＝43π.(2)正方体内接于球，则正方体的体对角线是球的直径．设球的半径是r，则正方体的体对角线长是2r.依题意，2r＝3×a26，即r2＝18a2.所以S球＝4πr2＝4π·18a2＝πa22.答案：(1)43π(2)πa22[迁移探究1](变换条件)若将典例3(2)的条件“正方体的表面积是a2，它的顶点都在同一个球面上”变为“圆柱内接于球，圆柱的底面半径r＝3，高h＝8”，求球的表面积．解：依题意，圆柱的轴截面四边形内接于球的大圆，所以2R＝（2r）2＋h2＝62＋82＝10，所以R＝5.圆球的表面积S表＝4πR2＝4π×52＝100π.[迁移探究2](变换条件，改变结论)若将典例3(2)的条件换成“三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长分别为2a，a，a，且三棱锥内接于球”，求该球的体积和表面积．解：以三棱锥的三条侧棱为长方体从一顶点出发的三条棱，将三棱锥补成长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，其球的直径等于长方体的体对角线长．故2R＝a2＋a2＋（2a）2＝6a，R＝62a，所以S球＝4πR2＝6πa2，V球＝43πR3＝43π·62a3＝6πa3.归纳升华1．处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．2．解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来解决．1．把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝43πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．2．球的体积比等于半径的立方比，球的表面积之比等于半径的平方比．3．球体与多面体的组合体的解决关键是明确切点或接点位置作出以球的轴截面为主的球及多面体的轴截面图，实现空间几何向平面几何的转化．