2019秋高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理课件 新人教A版

第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理[学习目标]1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．(难点)2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点)[知识提炼·梳理]1．在Rt△ABC中的有关定理，在Rt△ABC中，C＝90°，则有：(1)A＋B＝π2．(2)a2＋b2＝c2(勾股定理)．2．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即_________________，这个比值是三角形外接圆的直径．asinA＝bsinB＝csinC3．解三角形，一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在Rt△ABC中，若C为直角，则sinA＝ac.()(2)在△ABC中，若a＞b，则A＞B.()(3)在△ABC中，C＝π－A－B.()(4)在△ABC中，若sinB＝22，则B＝π4.()解析：(1)在Rt△ABC中，因为∠C＝π2，由初中三角函数定义知sinA＝ac成立，故正确．(2)在三角形中总有大边对大角，因为a＞b，所以A＞B，故命题正确．(3)因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C＝π－A－B，故正确．(4)在△ABC中，因为sinB＝22，得B＝π4或3π4，故不正确．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于()A．4∶1∶1B．2∶1∶1C.2∶1∶1D.3∶1∶1解析：因为A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1.所以A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝32∶12∶12＝3∶1∶1.答案：D3．在△ABC中，A＝45°，B＝30°，b＝2，则a的值为()A．4B．22C.3D．3解析：由asinA＝bsinB得asin45°＝2sin30°，解得a＝22.答案：B4．在△ABC中，若a＝15，b＝10，A＝60°，则sinB＝()A.33B.63C.22D.32解析：由asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝10×3215＝33.答案：A5．写出下列三角形解的个数．(1)a＝7，b＝14，A＝30°，________；(2)a＝30，b＝25，A＝150°，________；(3)a＝6，b＝9，A＝45°，________；(4)b＝9，a＝10，B＝60°，________．解析：对于(1)，a＝bsinA，有一解；对于(2)，ab，A＝150°，三角形是钝角三角形，有一解；对于(3)，sinB＝bsinAa＝3421，无解；对于(4)，asinB＝539＝b，有两解．答案：(1)一解(2)一解(3)无解(4)两解类型1已知两角及一边解三角形(自主研析)[典例1]在△ABC中，已知A＝45°，C＝30°，c＝10，解这个三角形．解：因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.由asinA＝csinC得a＝csinAsinC＝10×sin45°sin30°＝102.由bsinB＝csinC得b＝csinBsinC＝10×sin105°sin30°＝20sin75°，因为sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64，所以b＝20×2＋64＝52＋56.归纳升华已知两角及一边解三角形的方法1．若所给边是已知角的对边时，可先由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．2．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．[变式训练]在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理bsinB＝asinA，得b＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝46，由asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝8×sin75°sin45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．类型2已知两边及一边的对角解三角形[典例2]已知下列各三角形中的两边及一边的对角，解三角形．(1)a＝10，b＝20，A＝60°；(2)b＝10，c＝56，C＝60°；(3)a＝23，b＝6，A＝30°.解：(1)由正弦定理得：sinB＝bsinAa＝20·sin60°10＝3＞1，所以三角形无解．(2)由正弦定理得：sinB＝bsinCc＝10·sin60°56＝22，所以B＝45°或135°，又因为b＜c，所以B＜C，所以B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°，所以a＝bsinAsinB＝10·sin75°sin45°＝5(3＋1)．(3)由正弦定理得：sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝asinCsinA＝23sin90°sin30°＝43；当B＝120°时，C＝30°，c＝asinCsinA＝23sin30°sin30°＝23.所以B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.归纳升华1．已知三角形两边和其中一边的对角时解三角形的方法．(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断出另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．2．已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：AA为锐角A为钝角或直角图形关系式①a＝bsinA②a≥bbsinA＜a＜ba＜bsinAa＞ba≤b解的情况一解两解无解一解无解[变式训练]在△ABC中，A＝45°，c＝6，a＝2，解三角形．解：因为asinA＝csinC，所以sinC＝csinAa＝6×sin45°2＝32，所以C＝60°或120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝csinBsinC＝6sin75°sin60°＝3＋1.当C＝120°时，B＝15°，b＝csinBsinC＝6sin15°sin120°＝3－1.所以b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.类型3利用正弦定理判断三角形的形状(互动探究)[典例3]在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．解：法一在△ABC中，根据正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．因为sin2A＝sin2B＋sin2C，所以a2R2＝b2R2＋c2R2，即a2＝b2＋c2.所以A＝90°，所以B＋C＝90°.由sinA＝2sinBcosC，得sin90°＝2sinBcos(90°－B)，所以sin2B＝12.因为B是锐角，所以sinB＝22，所以B＝45°，C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．法二在△ABC中，根据正弦定理：sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.因为sin2A＝sin2B＋sin2C，所以a2＝b2＋c2，所以△ABC是直角三角形且A＝90°.从而B＋C＝90°，sinB＝cosC，由sinA＝2sinBcosC，所以sin2B＝12，则B＝45°，从而C＝45°.所以△ABC是等腰直角三角形．归纳升华依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种解法：1．利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．2．利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．[迁移探究]若将典例3题设中的“sinA＝2sinBcosC”改为“bsinB＝csinC”，其余条件不变，试解答．解：由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，从而得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.因为bsinB＝csinC，sin2A＝sin2B＋sin2C，所以b·b2R＝c·c2R，a2R2＝b2R2＋c2R2，所以b2＝c2，a2＝b2＋c2，所以b＝c，A＝90°.所以△ABC为等腰直角三角形．1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦值越大所对的边就越长．2．由正弦值得出角的大小时特别要注意的是一个解还是两个解．一般地，已知a，b，A解三角形时，只有A为锐角且bsinA＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其他的边和角．4．特别强调：把a＝2RsinA，b＝2RsinB代入已知等式，可将边角关系全部转化为三角函数关系．