2019秋高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列 第2课时 排列的综合应用课件 新人教A版选修

第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列第2课时排列的综合应用[学习目标]1.进一步理解排列的概念(重点)．2.掌握解有限制条件的排列应用题的一些常用方法，并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题(重点、难点)．1．解简单的排列应用题的基本思路2．解排列问题的基本方法(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．1．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．36B．30C．40D．60解析：奇数的个位数字为1、3或5，所以个位数字的排法有A13种，十位数字和百位数字的排法有A24种，所以奇数有A13·A24＝3×4×3＝36(个)．答案：A2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有()A．60种B．48种C．36种D．24种解析：将A，B视为一人，且B在A的右边，则本题相当于4人全排列，共有A44＝24种排法．答案：D3．5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为()A．18B．36C．48D．60解析：甲在排头或排尾站法有A12种站法，再让乙在中间3个位置选一个，有A13种站法，其余3人有A33种站法，故站法共有A12·A13·A33＝36(种)．答案：B4．用0，1，2，…9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279解析：由分步乘法计数原理知，用0，1，……，9十个数字组成三位数(包括重复数字)的个数为9×10×10＝900(个)，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648(个)，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252(个)．答案：B5．在数字1、2、3与符号“＋”“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是________．解析：符号“＋”“－”只能在两个数之间，先将三个数字全排列，再在数字之间的两个空位中插入两个符号，排法有A33·A22＝12(种)．答案：12类型1“在”与“不在”问题(自主研析)[典例1]7位同学站成一排．(1)若甲站在中间的位置，则共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(4)甲不能站排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？解：(1)先考虑甲站在中间，有1种排法，再在余下的6个位置排另外6位同学，有A66种排法，故排法共有1×A66＝720(种)．(2)先考虑甲、乙站在两端，有A22种排法，再在余下的5个位置排另外5位同学，有A55种排法，故排法共有A22A55＝240(种)．(3)法一先考虑在除两端外的5个位置中选2个安排甲、乙，有A25种排法，再在余下的5个位置排另外5位同学，有A55种排法，故排法共有A25A55＝2400(种)．法二考虑特殊位置优先法，即两端位置的排法有A25种，中间5个位置的排法有A55种，故排法共有A25A55＝2400(种)．(4)法一分两类，乙站在排头和乙不站在排头．乙站在排头的排法共有A66种，乙不站在排头的排法总数为先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头，方法有5种，中间5个位置选1个安排乙，方法有5种，再在余下的5个位置排另外5位同学(包含甲)，排法有A55种，故排法共有A66＋5×5A55＝3720(种)．法二间接法，总排法种数为A77，甲站排头和乙站排尾的排法种数均为A66，但这两种情况均包含了甲站排头和乙站排尾的情况，故排法共有A77－2A66＋A55＝3720(种)．归纳升华解决“在”与“不在”问题，常用的方法是特殊位置分析法、特殊元素分析法．若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置，有两个以上的约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件；若以元素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他元素．[变式训练]某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有()A．24种B．36种C．48种D．72种解析：分两类：若第一棒排A，则第四棒排C，其余两棒有A24种选法．若第一棒排B，则第四棒有A12种选法，其余两棒有A24种选法，所以有A12A24种排法．所以由加法计数原理，共有A24＋A12A24＝3A24＝36种选派方法．答案：B类型2“相邻”与“不相邻”问题[典例2]4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？解：(1)3个女同学是特殊元素，共有A33种排法；由于3个女同学必须排在一起，则可视排好的女同学为一个整体，再与4个男同学排队，应有A55种排法．由分步乘法计数原理得，有A33A55＝720种不同的排法．(2)先将男同学排好，共有A44种排法，再在这4个男同学的中间及两头的5个空当中插入3个女同学，则有A35种方法．故符合条件的排法共有A44A35＝1440(种)．(3)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A22种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，则有A25种排法．所以共有A44A22A25＝960种不同的排法．归纳升华限制条件解题方法元素相邻通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体并与其他元素进行排列元素不相邻通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素形成的空当中[变式训练]记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A．1440种B．960种C．720种D．480种解析：先将5名志愿者排好，有A55种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中，先将2位老人排好，有A22种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法．所以共有不同排法4A55A22＝960(种)．答案：B类型3某些元素顺序一定的排列问题[典例3]6个人排一队参观某项目，其中甲、乙、丙三人进入展厅的次序必须是先乙，再甲，最后丙，则不同的列队方式有多少种？解：法一由于甲、乙、丙三人的次序已定，故只须从6个位置中选取3个排上其余3人，有A36种排法，剩下的三个位置排甲、乙、丙三人，只有一种排法，所以不同的列队方式共有A36＝120(种)．法二6个人所有排法有6！种，其中甲、乙、丙三人的排法3！种中只有一种符合题目要求，所以不同的列队方式共有6！3！＝120(种)．归纳升华n个元素的全排列中有m(mn)个元素顺序固定，则有AnnAmm种排法．[变式训练]用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．解析：由1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数共有A77个．其中1，3，5，7的全排列有A44种，所以满足条件的七位数共有A77A44＝210(个)．答案：2101．注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止重复与遗漏．2．对有限制条件的位置或元素应先排列，并适当选择直接法或间接法．3．同一问题，有时从位置分析法入手较为方便，有时从元素分析法入手较为方便，应注意灵活运用．4．要通过解答排列应用题，深化对分步计数原理和分类计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步”的意识，并在具体操作中确保两点：一是分类要使得各类的并集等于全集，任意两类的交集为空集，这样才能不重不漏；二是分步要使得各步具有连续性、独立性，也要保证“不重不漏”．在分类与分步的过程中，要善于画树状图．