2019秋高中数学 第一章 集合与函数概念章末整合提升课件 新人教A版必修1

数学必修①·人教A版第一章集合与函数概念章末整合提升1知识结构2要点归纳3专题突破4课时作业学案知识结构要点归纳•1．集合元素的互异性•在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意．•2．集合与集合之间的关系•集合与集合之间的关系主要有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅.•3．集合与集合之间的运算•并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B．•4．函数的单调性•函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数，必须证明对[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)成立；若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可．单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且x1，x2∈I，则•(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1＝x2⇔f(x1)＝f(x2)．•(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)＝0在区间I上至多有一个实数根．•(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)＋g(x)亦与它们的单调性相同．•函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法．•5．函数的奇偶性•判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考查函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．专题突破专题一⇨集合学习中的注意点剖析•集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用．由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常会不知不觉地出错，下面对集合学习中的注意点进行剖析．•1．注意正确理解、运用集合语言•(1)设集合A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝______；•(2)设集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N＝()•A．(0,1)，(0,2)B．{(0,1)，(0,2)}•C．{y|y＝1或y＝2}D．{y|y≥1}•[分析]首先分析两个问题中集合中的元素特征，再求交集．典例1∅D•[解析](1)集合A中的元素为数，即表示二次函数y＝x2自变量的取值集合；集合B中的元素为点，即表示抛物线y＝x2上的点的集合．这两个集合不可能有相同的元素，故A∩B＝∅.•(2)集合M，N的元素都是数，即分别表示定义域为实数集R时，函数y＝x2＋1与y＝x＋1的值域，不是数对或点，故选项A，B错误．而M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{y|y∈R}，所以M∩N＝M.故选D．•『规律方法』学习集合知识，要加强对集合中元素的认识与识别，注意区分数集与点集，知道集合的元素是什么是进行集合运算的前提．另外，集合语言的表达和转化是必须掌握的．•2．注意元素的互异性•已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求实数a的值．•[解析]由题意a＋2＝1，或(a＋1)2＝1，或a2＋3a＋3＝1，解得a＝－1，或a＝－2，或a＝0.•当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不符合元素的互异性这一特点，故a≠－2.•同理a≠－1.故a＝0.∴实数a的值为0.典例2•『规律方法』集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．在解含有参数的集合问题时，忽视元素(或参数)的特性，往往容易出现错误，要注意解题后的代入检验．•3．注意空集的特殊性•已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－4x＋p＝0}，求∁UA．•[分析]符号∁UA隐含了A⊆U，注意不要忘记A＝∅的情形．•[解析]当A＝∅时，方程x2－4x＋p＝0无实数解．•此时Δ＝16－4p＜0，∴p＞4，•∴∁UA＝∁U∅＝U＝{1,2,3,4,5}．•当A≠∅时，方程x2－4x＋p＝0的两个根x1，x2(x1＜x2)，必须来自于U.典例3•由于x1＋x2＝4，所以x1＝x2＝2或x1＝1，x2＝3.•当x1＝x2＝2时，p＝4，此时A＝{2}，∁UA＝{1,3,4,5}；•当x1＝1，x2＝3时，p＝3，此时A＝{1,3}，∁UA＝{2,4,5}．•综上所述，当p＞4时，∁UA＝{1,2,3,4,5}；•当p＝4时，∁UA＝{1,3,4,5}；•当p＝3时，∁UA＝{2,4,5}．『规律方法』求集合的补集时，不要忘记∅的情形．分类讨论是重要的数学思想方法之一，在集合的有关问题中常常用到．专题二⇨函数概念与性质•1．求函数定义域的类型与方法•(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．•(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．•(3)复合函数问题：•①若f(x)的定义域为[a，b]，f[g(x)]的定义域应由a≤g(x)≤b解出；•②若f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．•[注意]①f(x)中的x与f[g(x)]中的g(x)地位相同；②定义域是自变量x的允许取值范围．(1)函数f(x)＝3x21＋x＋(x－3)0的定义域是()A．(－1，＋∞)B．(－1,3)C．(3，＋∞)D．(－1,3)∪(3，＋∞)(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()A．(－1,1)B．(－1，－12)C．(－1,0)D．(12，1)典例4DB[解析](1)由题意得，1＋x＞0x－3≠0，解得x－1且x≠3.∴f(x)的定义域为(－1,3)∪(3，＋∞)．(2)∵函数f(x)的定义域为(－1,0)，∴－12x＋10，解得－1x－12，∴函数f(2x＋1)的定义域为(－1，－12)．•2．二次函数的单调性•二次函数的单调性关键在于开口方向和对称轴与区间的位置关系．•已知f(x)＝x2＋2(a－1)x－a＋2，分别求下列条件下a的取值范围．•(1)函数f(x)的减区间为(－∞，－1]；•(2)函数f(x)在(－∞，－1]上递减；•(3)函数f(x)在[－1,2]上单调．•[分析]此题关键在于对单调区间的理解，主要由对称轴与区间的位置决定．典例5•[解析]函数f(x)＝x2＋2(a－1)x－a＋2的对称轴为x＝1－a.•(1)由于减区间为(－∞，－1]，因此，1－a＝－1，•∴a＝2.•(2)由于函数在(－∞，－1]上递减，应满足1－a≥－1，∴a≤2.•(3)由于函数在[－1,2]上单调，应满足1－a≤－1或1－a≥2，∴a≥2或a≤－1.•3．二次函数的区间最值•解决二次函数的区间最值问题的思路是：抓住“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．结合配方法，根据函数的单调性及分类整合思想即可解决问题．下面通过例题详细分析此类问题的解法．•(1)轴定区间定•当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值．•[分析]作出函数图象在所给范围的草图(画出对称轴)，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．典例6[解析]y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，作出函数的图象如图．∵－2≤x≤2，∴当x＝1时，ymin＝－4，当x＝－2时，ymax＝9－4＝5.•[点评]本题已知二次函数在自变量x的给定区间[m，n]上的图象是抛物线的一段，那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．•(2)轴动区间定•已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，求f(x)在[－5，5]上的最大值与最小值．•[分析]区间定，对称轴不定时，一般解法为：分别把对称轴平移至定区间的左侧、右侧及之间进行讨论，从而确定最值是在端点处取得还是在顶点处取得．本题中函数的对称轴为直线x＝－a，位置不确定，所以应按对称轴与区间[－5,5]的相对位置进行分类讨论．典例7•[解析]f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2，x∈[－5,5]，对称轴为直线x＝－a.•(1)当－a＜－5，即a＞5时，函数f(x)在[－5,5]上单调递增，如图(1)，•∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a，•f(x)min＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a.•(2)当－5≤－a＜0，即0＜a≤5时，如图(2)．•∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a，•f(x)min＝f(－a)＝2－a2.(3)当0≤－a≤5，即－5≤a≤0时，如图(3)，∴f(x)max＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2.(4)当－a＞5，即a＜－5时，如图(4)，∴f(x)max＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a，f(x)min＝f(5)＝27＋10a.综上知，f(x)max＝27＋10aa＞027－10aa≤0.f(x)min＝27＋10aa＜－52－a2－5≤a≤527－10aa＞5.•『规律方法』(1)函数f(x)在[a，b]上单调递增时，f(x)max＝f(b)；函数f(x)在[a，b]上单调递减时，f(x)max＝f(a)；函数f(x)在[a，b]上不是单调函数时，找出图象上最高点的纵坐标，即为函数f(x)的最大值，图象上最低点的纵坐标，即为函数f(x)的最小值．•(2)二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解，常见的有以下四种情况：•①对称轴与区间[m，n]均是确定的；•②动轴定区间，即对称轴不确定，区间[m，n]是确定的；•③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定；•④动轴动区间，即对称轴不确定，区间[m，n]也不确定．以上四种情况，对于①可数形结合，较易解决．对于②和③，应按对称轴在区间的左侧、内部、右侧分三类，结合其图象特征分别求解．④可让区间不动，按对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论，有时在区间内部还可分为两种情况：m≤x≤m＋n2和m＋n2＜x≤n进行讨论．•(3)轴定区间动•二次函数f(x)＝x2－2x＋2，当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．•[分析]因为对称轴固定，区间不定，此题可从三个方面进行讨论：①区间在对称轴左侧；②区间在对称轴右侧；③对称轴在区间内．典例8[解析]二次函数f(x)＝x2－2x＋2的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，则g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，则g(t)＝f(1)＝1－2＋2＝1；当t＋1＜1，即t＜0时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1.综上所述，f(x)min＝g(t)＝t2－2t＋2t＞110≤t≤1t2＋1t＜0.•『规律方法』对称轴确定，区间不确定时，可以把区间看成可移动的，分别移至对称轴的不同位置进行讨论．•4．抽象函数问题•抽象函数是相对具体的函数而言的，是指没有给出具体的函数解析式或对应关系，只是给出函数所满足的一些条件或性质的一类函数．•抽象函数问题一般是由所给的条件或性质，讨论函数的其他性质，如单调性、奇偶性，或是求函数值、解析式等．下面对抽象函数的单调性、奇偶性问题举例说明．•设函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)＝－2.•(1)求证：f(x)