2019秋高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性课件 新人教A版必修1

数学必修①·人教A版第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案•大自然是一个真正的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命．被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥．它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造更新、更宏伟的业绩．一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数的什么性质呢？•函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件对于f(x)定义域内的任意一个x结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于________对称关于________对称y轴原点[知识点拨](1)奇、偶函数定义域的特点．由于f(x)和f(－x)必须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．(2)奇、偶函数的对应关系的特点．①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f－xfx＝－1(f(x)≠0)；②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f－xfx＝1(f(x)≠0)．•(3)函数奇偶性的三个关注点．•①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；•②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；•③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．•(4)奇、偶函数图象对称性的应用．•①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；•②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．•1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是()•[解析]A、C、D中的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，B中的图象关于y轴对称，是偶函数．B•2．下列函数为偶函数的是()•A．y＝x＋1B．y＝x2•C．y＝x2＋xD．y＝x3•[解析]y＝x＋1为非奇非偶函数；y＝x2＋x为非奇非偶函数；令f(x)＝x2，∴f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数；令g(x)＝x3，g(－x)＝(－x)3＝－x3＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．B3．(2019·南阳市高一期中测试)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b的值为()A．0B．13C．1D．2B[解析]由题意得a－1＋2a＝0b＝0，∴a＝13b＝0，∴a＋b＝134．已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝_______.－2[解析]∵x0时，f(x)＝x2＋1x，∴f(1)＝1＋1＝2.又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.5．已知函数f(x)＝x－ax的图象经过点(2,1)．(1)求a的值；(2)判断f(x)的奇偶性．[解析](1)∵点(2,1)在函数f(x)的图象上，∴1＝2－a2，∴a＝2.(2)由(1)知f(x)＝x－2x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．f(－x)＝－x－2－x＝－x＋2x＝－(x－2x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．互动探究学案判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x＋1；(2)f(x)＝x－1＋1－x；(3)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；(4)f(x)＝12x2＋1x＞0－12x2－1x＜0.命题方向1⇨函数奇偶性的判断典例1•[思路分析](1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？•(2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？[解析](1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称．因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)使函数有意义满足x－1≥01－x≥0，∴定义域为{1}，∵定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．(3)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称．因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－12(－x)2－1＝－(12x2＋1)＝－f(x)；①当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝12(－x)2＋1＝12x2＋1＝－(－12x2－1)＝－f(x)．②综上可知，函数f(x)＝12x2＋1x＞0－12x2－1x＜0是奇函数．[注意]①由于这里的－x＜0，因此应将－x代入f(x)＝－12x2－1；②由于这里的－x＞0，因此应将－x代入f(x)＝12x2＋1.•『规律方法』判断函数奇偶性的方法•(1)定义法：•(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．〔跟踪练习1〕判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝1x；(2)f(x)＝－3x2＋1；(3)f(x)＝x2＋xx0x－x2x0；(4)f(x)＝0；(5)f(x)＝2x＋1；(6)f(x)＝x3－x2x－1.[解析](1)函数f(x)＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f(－x)＝－1x＝－f(x)，∴f(x)＝1x是奇函数．(2)函数f(x)＝－3x2＋1的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－3(－x)2＋1＝－3x2＋1＝f(x)，∴f(x)＝－3x2＋1是偶函数．•(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．•当x0时，－x0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，•当x0时，－x0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，•∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．•(4)由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，•∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．•(5)函数f(x)＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称．•∵f(1)＝3，f(－1)＝－1，－f(1)＝－3，•∴f(－1)≠f(1)，∴y＝2x＋1不是偶函数，•又f(－1)≠－f(1)，∴y＝2x＋1不是奇函数，•∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．•(6)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．命题方向2⇨奇、偶函数图象的应用•已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．•(1)请补全完整函数y＝f(x)的图象；•(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．•[思路分析]∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，根据对称性作出函数y＝f(x)在x0时的图象．典例2•[解析](1)由题意作出函数图象如图：•(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．•『规律方法』1.研究函数图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂性．•2．利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．命题方向3⇨利用函数的奇偶性求解析式•已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式．•[思路分析](1)如何把(－∞，0)上的未知解析式转移到(0，＋∞)上的已知解析式？•(2)奇函数f(x)在x＝0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式．典例3[解析]∵函数f(x)的图象关于原点对称．∴f(x)为奇函数，则f(0)＝0，设x＜0，则－x＞0，∵x0时，f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3于是有：f(x)＝x2－2x＋3x＞00x＝0－x2－2x－3x＜0.•『规律方法』利用函数奇偶性求函数解析式•利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．•〔跟踪练习3〕•已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式.•[解析]设x0，则－x0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，•∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1.•∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x－1)x＋1x－1；(2)f(x)＝1－x2|x＋2|－2.忽略函数奇偶性对定义域的限制条件导致判断错误典例4[错解](1)f(x)＝(x－1)·x＋1x－1＝x2－1.∵f(－x)＝－x2－1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)f(－x)＝1－－x2|－x＋2|－2＝1－x2|x－2|－2，∵f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，∴f(x)为非奇非偶函数．•[错因分析]要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)．有时还需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形，以利于判定其奇偶性．[正解](1)由x＋1x－1≥0得{x|x＞1，或x≤－1}，∵f(x)定义域关于原点不对称，∴f(x)为非奇非偶函数．(2)由1－x2≥0|x＋2|－2≠0，得－1≤x≤1且x≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x≤1且x≠0时，f(x)＝1－x2x＋2－2＝1－x2x，∵f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．•[警示]1.函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称．•2．确定函数的定义域时，要针对函数的原解析式．逻辑推理与转化思想的应用——再谈恒成立问题•1．在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：•(1)f(x)在区间D上单调递增，则对任意x1，x2∈D，当x1x2时，f(x1)f(x2)恒成立；•(2)若f(x)是奇函数，定义域为M，则f(－x)＝－f(x)对任意x∈M恒成立；若f(x)是偶函数，定义域为M，则对任意x∈M,f(－x)＝f(x)恒成立；•(3)若f(x)的最大值为M，最小值为m，定义域为A，则对任意x∈A，有m≤f(x)≤M.•解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法．•2．遇到f(－x)与f(x)的关系问题时，应首先从函数f(x)的奇偶性入手考虑，如果f(x)不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函数g(x)，使f(x)用g(x)表示，再利用g(x)的奇偶性来解答．•已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于()•A．－26B．－18•C．－10D．10•[思路分析]只有一个条件f(－2)＝10，两个待定系数a，b，不能通过列方程组方法求出a，b.由f(－2)求f(2)，我们可联想函数的奇偶性，观察f(x)的表达式有什么特征？如何借助函数的奇偶性求f(2)?A典例5[解析]解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18.∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.解法二：由已知条件，得f－2＝－25＋a－23＋b－2－8①f2＝25＋a·23＋b·2－8②，①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.又f(－2)＝10，∴f(