2019秋高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式课件 新

第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1．1.3三个正数的算术—几何平均不等式[学习目标]1.探索并了解三个正数的算术—几何平均不等式的证明过程，会用三项的平均值不等式证明一些简单问题(难点)．2.能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的最值(重点)．3.会建立函数不等式模型，会解决简单的应用问题(重点)．1．三个正数的算术—几何平均不等式(1)如果a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a2＋a33叫做这3个正数的算术平均数，3a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．(2)定理3：三个正数基本不等式：a1＋a2＋a33≥3a1a2a3.当且仅当a1＝a2＝a3时，等号成立．语言表述：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．n个正数的算术—几何平均不等式(1)如果a1，a2，…，an∈R＋，n＞1且n∈N*，则a1＋a2＋…＋ann叫做这n个正数的算术平均数，na1a2…an叫做这n个正数的几何平均数．(2)基本不等式：a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an(n∈N*，ai∈R＋，1≤i≤n)．当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立．语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示两个定理的使用前提都是“正数”．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)如果a，b，c∈R，那么a＋b＋c3≥3abc.()(2)如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b或b＝c时，等号成立．()(3)如果a，b，c∈R＋，那么abc≤a＋b＋c33，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．()(4)如果a1，a2，a3，…，an都是实数．那么a1＋a2＋…＋an≥n·na1a2…an.()解析：(1)根据定理3，只有在a，b，c都是正数才成立．其他情况不一定成立，如a＝1，b＝－1，c＝－3，a＋b＋c3＝－1，3abc＝33，故(1)不正确．(2)由定理3，知等号成立的条件是a＝b＝c.故(2)不正确．(3)由定理3知(3)正确．(4)必须a1，a2，…，an都是正数，命题才成立．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．当x0时，y＝3x＋12x2的最小值为()A.3239B．3C.5235D．432解析：y＝3x＋12x2＝3x2＋3x2＋12x2≥3332x·32x·12x2＝3398＝3239.当且仅当32x＝12x2，即x＝313时，等号成立．答案：A3．设x＞0，则y＝x＋4x2的最小值为()A．2B．22C．32D．3解析：y＝x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3·3x2·x2·4x2＝3，当且仅当x2＝4x2时取“＝”号．答案：D4．若a，b，c都是正数且a＋b＋c＝6，则abc的最大值为()A．2B．27C．8D．3解析：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝6，所以abc≤a＋b＋c33＝633＝8，当且仅当a＝b＝c＝2时“＝”成立．答案：C5．若0x1，则函数y＝x4(1－x2)的最大值是________，此时x＝________．解析：因为0x1，所以x4(1－x2)＝12x2·x2(2－2x2)≤12x2＋x2＋2－2x233＝427，当且仅当x2＝x2＝2－2x2，即x＝63时，函数y＝x4(1－x2)取得最大值427.答案：42763类型1利用平均不等式求最值(自主研析)[典例❶]求函数y＝(1－3x)2·x0＜x＜13的最大值．解：y＝(1－3x)2·x＝16·(1－3x)·(1－3x)·6x≤16（1－3x）＋（1－3x）＋6x33＝481，当且仅当1－3x＝1－3x＝6x，即x＝19时，ymax＝481.归纳升华1．利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．2．应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．[变式训练](1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)1x32的最大值．(2)求函数y＝x＋4（x－1）2(x1)的最小值．解：(1)因为1x32，所以3－2x0，x－10.y＝(x－1)2(3－2x)＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤x－1＋x－1＋3－2x33＝133＝127，当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，即x＝43时，等号成立，所以ymax＝127.(2)因为x1，所以x－10，y＝x＋4（x－1）2＝12(x－1)＋12(x－1)＋4（x－1）2＋1≥3312（x－1）·12（x－1）·4（x－1）2＋1＝4，当且仅当12(x－1)＝12(x－1)＝4（x－1）2，即x＝3时，等号成立．所以ymin＝4.类型2利用平均不等式证明不等式[典例2]设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.解：因为a，b，c为正实数，由三个正数的算术—几何平均不等式可得：1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc，所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.又因为3abc＋abc≥23abc·abc＝23，所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23，当且仅当a＝b＝c＝63时，等号成立．归纳升华利用平均不等式证明不等式的方法首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足平均不等式的条件．若满足即可利用平均不等式证明；若题目不满足该条件，则可利用已知条件进行恒等变形构造出能利用三个正数的平均不等式的式子．[变式训练]已知x0，y0，求证：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.证明：因为x0，y0，所以1＋x＋y2≥33xy20，1＋x2＋y≥33xy20，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33xy2·33x2y＝9xy.当且仅当x＝y＝1时取等号．类型3利用平均不等式解决实际问题[典例3]如图所示，把一块边长为a的正方形铁皮的各角切去大小相同的小正方形，再把它沿着虚线折起做成一个无盖的铁盒，问切去的正方形边长是多少时，盒子的体积最大？解：设切去的正方形的边长为x，无盖盒子的容积为V，则V＝(a－2x)2x＝14(a－2x)(a－2x)·4x≤14（a－2x）＋（a－2x）＋4x33＝2a327，当且仅当a－2x＝4x，即x＝a6时，等号成立．因此V取最大值2a327，故当切去的小正方形边长是原来的正方形的边长的16时，盒子的容积最大．归纳升华利用平均不等式解决实际问题的一般步骤1.理解题意，设变量．设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数；2.建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题；3.在定义域内，求出函数的最大值或最小值；4.验证相等条件，得出结论．[变式训练]制作一个圆柱形的饮料盒，如果体积一定，怎样设计它的尺寸，使用的材料才会最少？解：设圆柱形饮料盒的体积为V(定值)，底面半径为r，高为h，表面积为S.则V＝πr2h，所以h＝Vπr2.所以S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2Vr＝2πr2＋Vr＋Vr≥332πV2.当2πr2＝Vr，即r＝3V2π时表面积最小．此时h＝2r.即饮料盒的底面半径r＝3V2π，高为23V2π时，用料最省．1．三个正数或三个以上正数的平均不等式的应用条件．(1)“一正”．不论是三个数的或者n个数的算术—几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的，如a＋b＋c≥33abc，取a＝b＝－2，c＝2时a＋b＋c＝－2，而33abc＝6，显然－2≥6不成立．(2)“二定”．包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值(即a1＋a2＋…＋an为定值)，求其积a1·a2·…·an的最大值；二是已知积a1·a2·…·an为定值，求其和a1＋a2＋…＋an的最小值．(3)“三相等”．取“＝”的条件是a1＝a2＝…＝an，不能只是一部分相等．2．重要不等式a2＋b2≥2ab与a3＋b3＋c3≥3abc的运用条件不一样，前者a，b∈R，后者a，b，c∈R＋，要注意区别．3．注意算术—几何平均不等式中的变形与拼凑方法．