2020-2021八省联考数学卷全国适应性考试数学卷-(含答案详细解析)

1姓名______________考生号________________座位号________________2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,MN均为R的子集，且RMNð，则()RMCN（）A．B．MC．ND．R2．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）A．16B．13C．12D．233．关于x的方程20xaxb，有下列四个命题：甲：1x是该方程的根；乙：3x是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．椭圆22221(0)1xymmm的焦点为12,FF，上顶点为A，若123FAF，则m（）A．1B．2C．3D．25．已知单位向量,ab满足0ab，若向量72cab，则sin,ac（）A．73B．23C．79D．2926．239(1)(1)(1)xxx的展开式中2x的系数是（）A．60B．80C．84D．1207．已知抛物线22ypx上三点(2,2),,ABC，直线,ABAC是圆22(2)1xy的两条切线，则直线BC的方程为（）A．210xyB．3640xyC．2630xyD．320xy8．已知5a且5e5e,4aab且44,3bbeec且3e3ecc，则（）A．cbaB．bcaC．acbD．abc二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()ln(1)fxxx，则（）A．()fx在(0,)单调递增B．()fx有两个零点C．曲线()yfx在点11,22f处切线的斜率为1ln2D．()fx是偶函数10．设123,,zzz为复数，10z．下列命题中正确的是（）A．若23zz，则23zzB．若1213zzzz，则23zzC．若23zz，则1213zzzzD．若2121zzz，则12zz11．右图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．//AECDB．//CHBEC．DGBHD．BGDE12．设函数cos2()2sincosxfxxx，则（）3A．()()fxfxB．()fx的最大值为12C．()fx在,04单调递增D．()fx在0,4单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为__________________．14．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，_____．15．写出一个最小正周期为2的奇函数()fx________．16．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差2~0,nNn，为使误差n在(0.5,0.5)的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若2~,XN，则(||2)0.9545)PX）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知各项都为正数的数列na满足2123nnnaaa．（1）证明：数列1nnaa为等比数列；（2）若1213,22aa，求na的通项公式．18．（12分）在四边形ABCD中，//,1ABCDADBDCD．（1）若32AB，求BC；（2）若2ABBC，求cosBDC．19．（12分）一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．4（1）求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．20．（12分）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3，所以正四面体在各顶点的曲率为233，故其总曲率为4．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2，证明：这类多面体的总曲率是常数．21．（12分）双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BFAF时，||||AFBF．（1）求C的离心率；（2）若B在第一象限，证明：2BFABAF．22．（12分）已知函数()esincos,()esincosxxfxxxgxxx．（1）证明：当54x时，()0fx…；（2）若()2gxax…，求a．52021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知,MN均为R的子集，且RMNð，则MNRð（）A．B．MC．ND．R【答案】B【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果.【详解】解法一：RMNð,RMNð，据此可得RMNMð.故选：B.解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合RMð，矩形区域CDFG表示集合N，满足RMNð，结合图形可得：RMNMð.故选：B.2．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）6A．16B．13C．12D．23【答案】C【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】设三位同学分别为,,ABC，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如1,3,2表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为：1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1，共6种，其中满足题意的结果有1,3,2,2,1,3,3,2,1，共3种，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：3162p.故选：C.【点睛】方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.3．关于x的方程20xaxb，有下列四个命题：甲：1x是该方程的根；乙：3x是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【分析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程20xaxb的两根，进而可得出结论.【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x的方程20xaxb的一根为3，由于两根之和为2，则该方程的另一根为1，两根异号，合乎题意；7若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则1x是方程20xaxb的一根，由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x的方程20xaxb的两根为1和3，两根同号，不合乎题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x的方程20xaxb的两根为1和3，两根之和为4，不合乎题意.综上所述，甲命题为假命题.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.4．椭圆2222101xymmm的焦点为1F、2F，上顶点为A，若123FAF，则m（）A．1B．2C．3D．2【答案】C【分析】分析出12FAF为等边三角形，可得出2ac，进而可得出关于m的等式，即可解得m的值.【详解】在椭圆2222101xymmm中，21am，bm，221cab，如下图所示：8因为椭圆2222101xymmm的上顶点为点A，焦点为1F、2F，所以12AFAFa，123FAFQ，12FAF△为等边三角形，则112AFFF，即2122mac，因此，3m.故选：C.5．已知单位向量,ab满足0ab，若向量72cab，则sin,ac（）A．73B．23C．79D．29【答案】B【分析】本题借助cos,acacac将72cab代入化简即可.【详解】因为,ab是单位向量，所以1abrr.因为72cab，所以2227272723cababab.所以2727277cos,=3aabacaabacacacacc所以272sin,133ac.9故选：B.6．239111xxx的展开式中2x的系数是（）A．60B．80C．84D．120【答案】D【分析】239111xxx的展开式中2x的系数是22222349CCCC，借助组合公式：11mmmnnnCCC，逐一计算即可.【详解】239111xxx的展开式中2x的系数是22222349CCCC因为11mmmnnnCCC且2323CC，所以2232323334CCCCC，所以222233234445CCCCCC，以此类推，2222323234999101098120321CCCCCCC.故选：D.【点睛】本题关键点在于使用组合公式：11mmmnnnCCC，以达到简化运算的作用.7．已知抛物线22ypx上三点(2,2),,ABC，直线,ABAC是圆22(2)1xy的两条切线，则直线BC的方程为（）A．210xyB．3640xyC．2630xyD．320xy【答案】B【分析】先利用点(2,2)A求抛物线方程，利用相切关系求切线AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点,BC，即求出直线BC方程.【详解】(2,2)A在抛物线22ypx上，故2222p，即1p，抛物线方程为22yx，10设过点(2,2)A与圆22(2)1xy相切的直线的方程为：22ykx，即220kxyk，则圆心2,0到切线的距离2202211kkdk，解得3k，如图，直线:232AByx，直线:232ACyx.联立22322yxyx，得23431416830xx，故16833ABxx