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第三章直线与方程第2课时两直线的交点坐标、两点间的距离(习题课)[学习目标]1.理解过两条直线交点的直线方程的求法(重点).2.掌握点关于点的对称点、点关于线的对称点的求法(重点、难点).3.理解利用对称转换求距离的最值问题(难点).[知识提炼·梳理]1.过两条直线交点的直线系方程过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)交点的直线系方程为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m,n为参数,且m,n不同时为0).温馨提示上面的直线系方程可改写成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为参数),但此方程不包括直线l2.2.点的中心对称若点M(x1,y1)关于点P(a,b)的对称点为N(x,y),则由中点坐标公式可得x=2a-x1,y=2b-y1.3.点关于直线的对称点点A(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点B(x,y)可由方程组y-y0x-x0·-AB=-1(AB≠0),A·x+x02+B·y+y02+C=0求得.[思考尝试·夯基]1.已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是()A.2B.4C.5D.17解析:根据中点坐标公式得到x-22=1且5-32=y,解得x=4,y=1,所以点P的坐标为(4,1),则点P(x,y)到原点的距离d=(4-0)2+(1-0)2=17.答案:D2.点P(a,b)关于l:x+y+1=0对称的点仍在l上,则a+b等于()A.1B.-1C.2D.0解析:因为点P(a,b)关于l:x+y+1=0对称的点仍在l上,所以点P(a,b)在直线l上,所以a+b+1=0,即a+b=-1.答案:B3.直线x-3=0与直线x-4y+1=0的交点为P,则直线OP(O为坐标原点)的方程是________.解析:由x-3=0,x-4y+1=0,得点P的坐标(3,1),又O(0,0),所以OP的方程为y=13x,即x-3y=0.答案:x-3y=04.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是________.解析:设P(x,y)是所求直线上任意一点,则P(x,y)关于点(1,-1)的对称点P′(x′,y′)在直线2x+3y-6=0上,又x′=2-x且y′=-2-y,所以2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+8=0.答案:2x+3y+8=05.点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点的坐标是______________.解析:设对称点的坐标为(x0,y0),则y0-5x0-2·(-1)=-1,x0+22+y0+52=1.解得x0=-4,y0=-1.所以所求对称点的坐标为(-4,-1).答案:(-4,-1)类型1过两条直线交点的直线方程(自主研析)[典例1]求经过直线l1:x+3y-3=0,l2:x-y+1=0的交点,且平行于直线2x+y-3=0的直线方程.解:法一由x+3y-3=0,x-y+1=0,得x=0,y=1.所以直线l1与l2的交点坐标为(0,1),设平行于直线2x+y-3=0的直线方程为2x+y+c=0,把(0,1)代入所求的直线方程,得c=-1,故所求的直线方程为2x+y-1=0.法二设过直线l1,l2交点的直线方程为x+3y-3+λ(x-y+1)=0(λ∈R),即(λ+1)x+(3-λ)y+λ-3=0,由题意,知λ+1λ-3=-2,解得λ=53,故所求直线方程为83x+43y-43=0,即2x+y-1=0.归纳升华1.两直线相交的主要方法:方法一联立直线解方程组,若方程组有一组解,则两直线相交方法二两直线的斜率都存在,且斜率不相等方法三两直线的斜率一个存在,另一个不存在2.过两条直线交点的直线方程的求法:(1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)特殊解法(直线系法):先设出过两直线交点的直线方程,再结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.[变式训练]已知直线l:3x+λy-2+2λx+4y+2λ=0.(1)求证:直线l过定点;(2)求过(1)的定点且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程.(1)证明:根据题意将直线l化为3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0,则3x+4y-2=0,2x+y+2=0,解得x=-2,y=2,所以直线过定点(-2,2).(2)解:由(1)知定点为(-2,2),直线3x-2y+4=0的斜率为32,所求直线与3x-2y+4=0垂直,故其斜率k=-23,所以直线方程为y-2=-23(x+2),即2x+3y-2=0.类型2对称问题[典例2]已知直线l:y=3x+3,求:(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;(2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程.解:(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′,y′),则点P,P′的中点M在直线l上,且直线PP′垂直于直线l,即y′+52=3·x′+42+3,y′-5x′-4·3=-1,解得x′=-2,y′=7.所以点P′的坐标为(-2,7).(2)由x-y-2=0,3x-y+3=0,得交点P-52,-92,取直线x-y-2=0上一点A(0,-2),设点A关于直线l:3x-y+3=0的对称点为A′(x0,y0),则y0+2x0-0·3=-1,3·x02-y0-22+3=0,解得x0=-3,y0=-1.故所求直线过点-52,-92与(-3,-1).所以所求直线方程为y+92=-7x+52,即7x+y+22=0.归纳升华1.点关于直线对称的点的求法.点N(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点M(x,y)可由方程组y-y0x-x0·-AB=-1(AB≠0),A·x+x02+B·y+y02+C=0求得.2.直线关于直线的对称的求法.求直线l1:A1x+B1y+C1=0关于直线l:Ax+Bx+C=0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称,在l1上任取两点P1和P2,求出P1,P2关于直线l的对称点,再用两点式求出l2的方程.[变式训练]在△ABC中,已知点A(0,3),C(1,-2),若点B与点A关于直线y=-x对称,试求:(1)直线BC的方程;(2)线段BC的垂直平分线方程.解:(1)因为点B与点A(0,3)关于直线y=-x对称,所以点B的坐标为(-3,0).因为点C的坐标为(1,-2),所以直线BC的方程为y-0-2-0=x+31+3,即x+2y+3=0.(2)线段BC的中点坐标为(-1,-1),kBC=-12,所以线段BC的垂直平分线的斜率为k=2.所以线段BC的垂直平分线方程为y+1=2(x+1),即2x-y+1=0.类型3利用转化思想求最值(规范解答)[典例3](本小题满分12分)在x轴上求一点P,使得:(1)P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;(2)P到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.审题指导:在x轴上求点P,使|PA|-|PB|或|PB|-|PA|最大,以及|PA|+|PC|最小,应首先画出图形,利用对称性及三角形三边关系求解.①三角形的两个顶点知道,第三个顶点在x轴上;②三角形两边之差小于第三边,两边之和大于第三边.[规范解答]如图:(1)直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,(2分)失分警示:首先确定P点位置,否则扣2分.且|PB|-|PA|=|AB|=(0-4)2+(4-1)2=5.因为直线BA的斜率kBA=1-44=-34,(4分)所以直线BA的方程为y=-34x+4.令y=0得x=163,即P163,0.故距离之差最大值为5,此时点P的坐标为163,0.(6分)(2)作A关于x轴的对称点A′,则A′(4,-1),连接CA′,则|CA′|为所求最小值,直线CA′与x轴交点为所求点.(8分)失分警示:准确找出取得最小值的条件是关键,否则失掉6分.又|CA′|=(4-3)2+(-1-4)2=26,直线CA′的斜率kCA′=-1-44-3=-5,则直线CA′的方程为y-4=-5(x-3).令y=0得x=195,即P195,0.(11分)故距离之和最小值为26,此时P点的坐标为195,0.(12分)归纳升华通过对称问题的转换,将求距离的最值问题转化为共线问题,这是一种常用的解题思路.另外通过图形探求问题也是一种常用方法.[变式训练]一只虫子从点(0,0)出发,先爬行到直线l:x-y+1=0上的P点,再从P点出发爬行到点A(1,1),则虫子爬行的最短路程是________.解析:过点O(0,0),作直线l:x-y+1=0的对称点O′(x0,y0),则|O′A|为所求的最短距离.由y0-0x0-0=-1,x02-y02+1=0,解之得x0=-1,y0=1,所以原点O(0,0)关于l的对称点O′(-1,1),则|O′A|=(-1-1)2+(1-1)2=2,故虫子爬行的最短距离是2.答案:21.点A(x0,y0)关于直线l:Ax+Bx+C=0的对称点M(x,y)可由方程组y-y0x-x0·-AB=-1,AB≠0,A·x+x02+B·y+y02+C=0求得.2.过直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0.3.求距离的最值问题,通常需转化为共线问题,借助三角形两边之和大于第三边求最小值,借助三角形两边之差小于第三边求最大值.
本文标题:2019秋高中数学 第三章 直线与方程 3.3.2 两点间的距离 第2课时 两直线的交点坐标、两点间
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