2019秋高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课件 新人教A

第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3．2.2复数代数形式的乘除运算[学习目标]1.理解复数代数形式的乘、除运算法则，会进行复数代数形式的乘、除运算(重点、难点)．2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3.理解共轭复数的概念(重点)．1．复数的乘法(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．(2)对于任意z1，z2，z3∈C，有：交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z32.共轭复数已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则：(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d．(2)若z＝z，则z是实数．3．复数的除法在进行复数的除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成________的形式，再把分子与分母都乘以c－di．a＋bic＋di则(a＋bi)÷(c＋di)＝__________________(c＋di≠0)．温馨提示在进行复数的乘法运算时，要将i2化为－1；在进化复数的除法运算时，要将分母化为实数．复数的乘除运算的结果都要写为a＋bi(a，b∈R)的形式．ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．()(2)若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.()(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．()(4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．()解析：(1)错．两个复数互为共轭复数是它们的模相等的充分条件．(2)错．如z1＝1，z2＝i，满足z21＋z22＝0，但z1≠z2≠0.(3)对．设z＝a＋bi，z＝a－bi(b≠0，a∈R)，则z－z＝2bi为纯虚数．(4)对．复数代数形式的运算要先乘除、后加减．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√__2．(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝()A．1－iB．1＋3iC．3＋iD．3＋3i解析：(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i＋i2＝1＋3i答案：B3．复数53＋4i的共轭复数为()A．3＋4iB．3－4iC.35＋45iD.35－45i解析：53＋4i的共轭复数为53－4i＝5（3＋4i）25＝35＋45i.答案：C4．设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数iz1＋z25的虚部等于________．解析：因为iz1＋z25＝i2－i＋1＋3i5＝i（2＋i）5＋15＋35i＝－15＋25i＋15＋35i＝i，所以虚部为1.答案：1——5．若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数z－＝________．解析：因为z＝1－i1＋i＝（1－i）2（1＋i）（1－i）＝－i，所以z－＝i.答案：i类型1复数的乘法运算(自主研析)[典例1](1)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y的值为()A．2B．－2iC．－4D．2i(2)已知复数z1＝12－32i(1＋i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.(1)解析：xi－y＝－1＋i(x，y∈R)，所以x＝1，且y＝1，所以(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i，选D.答案：D(2)解：z1＝12－32i(1＋i)＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，因为z1z2∈R，所以a＝4，所以z2＝4＋2i.归纳升华1．复数的乘法运算：可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．2．对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如，平方差公式、完全平方公式等．[变式训练](1)(2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)(2)若a为实数且2＋ai1＋i＝3＋i，则a＝()A．－4B．－3C．3D．4解析：(1)因为(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，对应点在第二象限，所以a＋1＜0，1－a＞0，解得a＜－1.(2)由题意可得2＋ai＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i，得a＝4.答案：(1)B(2)D类型2复数的除法[典例2](1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，则复数z1z2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(1)解析：由复数的几何意义，OA→＝(－2，－1)，OB→＝(0，1)，所以z1＝－2－i，z2＝i.所以z1z2＝－2－ii＝－1＋2i.(2)计算：①3＋2i2－3i－3－2i2＋3i.②（1＋i）71－i＋（1－i）71＋i－（3－4i）（2＋2i）34＋3i.故z1z2对应的点(－1，2)在第二象限．答案：B(2)解：①3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝（3＋2i）（2＋3i）－（3－2i）（2－3i）（2－3i）（2＋3i）＝6＋13i－6－6＋13i＋64＋9＝26i13＝2i.②原式＝[(1＋i)2]3·1＋i1－i＋[(1－i)2]3·1－i1＋i－8（3－4i）（1＋i）2（1＋i）（3－4i）i＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i（1＋i）i＝8＋8－16－16i＝－16i.归纳升华1．复数除法运算的实质是分母实数化，即分母、分子同乘分母的共轭复数，另外注意将运算结果的实部、虚部分算．2．记住以下运算结果，可提高运算速度．(1)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.(2)1－i1＋i＝－i，1＋i1－i＝i；1i＝－i.[变式训练](1)i是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝________．(2)已知i为虚数单位，且z满足z(1－i)＝1＋i，则z2017＝()A．1B．－1C．iD．－i解析：(1)原式＝（7＋i）（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝25－25i25＝1－i.(2)因为z(1－i)＝1＋i，所以z＝1＋i1－i＝（1＋i）2（1－i）（1＋i）＝2i2＝i，所以z2017＝(i2)1008·i＝(－1)1008·i＝i.答案：(1)1－i(2)C类型3共轭复数及应用(互动探究)[典例3]把复数z的共轭复数记作z，已知(1＋2i)z＝4＋3i，求z.解：因为(1＋2i)z＝4＋3i，所以z＝4＋3i1＋2i＝（4＋3i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝10＋（3－8）i5＝2－i，所以z＝2＋i.____[迁移探究](变换条件)若将典例3的条件改为“z(z＋2)＝4＋3i”，求z.解：设z＝x＋yi(x、y∈R)，则z＝x－yi.由题意，得(x－yi)(x＋2＋yi)＝4＋3i.所以x(x＋2)＋y2＋[xy－y(x＋2)]i＝4＋3i，由复数相等得x（x＋2）＋y2＝4，xy－y（x＋2）＝3，__解得x＝－1－112，y＝－32或x＝－1＋112，y＝－32.因此z＝－1－112－32i或z＝－1＋112－32i.归纳升华1．若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出z—，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求z—.2．共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和z—的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z—＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解.1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，将分母实数化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．(3)若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．__3．复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．