2019秋高中数学 第三章 三角恒等变换章末复习课课件 新人教A版必修4

第三章三角恒等变换章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．熟练把握三角中的相关公式本章中的公式较多，又比较相似，在应用过程中，可能因为对公式的记忆不准确或记忆错误导致运算结果出现错误，熟练把握公式是关键．2．关注角的取值范围由于三角函数具有有界性，解题时往往会由于忽视角的范围而导致解题过程欠严密，结果不准，这种情况在解给值求角的问题中易出现.专题一三角函数式的求值问题三角函数式求值主要有以下三种题型．(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题．(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”问题，由所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．[例1](1)(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C．1D.1625(2)sin15°＋cos15°sin15°－cos15°的值是()A.33B.2＋64C.2－64D．－3解析：(1)因为tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαcosαsin2α＋cos2α＝1＋4tanαtan2α＋1＝1＋4×34342＋1＝6425.(2)原式＝tan15°＋1tan15°－1＝－1＋tan15°1－tan15°＝－tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝－tan(45°＋15°)＝－tan60°＝－3.答案：(1)A(2)D归纳升华对于给值求角的问题，角的范围分析很重要，是防止出现增解的重要手段．[变式训练]已知sinα－π4＝7210，cos2α＝725，则sinα＝()A.45B．－45C．－35D.35解析：因为sinα－π4＝7210，所以22sinα－22cosα＝7210，即sinα－cosα＝75，因为cos2α＝725，所以cos2α－sin2α＝725，即(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝725，所以cosα＋sinα＝－15，可得sinα＝35.答案：D专题二三角函数式的化简与证明三角函数式化简的基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．三角函数式的证明实质上也是化简，具有方向目标的化简．根本原则是由繁到简，消除两端差异，达到证明目的．[例2]化简(tan10°－3)·cos10°sin50°.解：原式＝sin10°cos10°－3·cos10°sin50°＝sin10°－3cos10°sin50°＝212sin10°－32cos10°sin50°＝2sin（10°－60°）sin50°＝－2sin50°sin50°＝－2.归纳升华1．当题中既有弦函数，又有切函数，涉及弦函数的公式较多时，可采用切化弦的方法，有利于化简的进行．2．用特殊角的三角函数表示特殊值，能为逆用正弦的差角公式创造条件，使解法简捷，明快．[变式训练]求证：1－2sinxcosxcos2x－sin2x＝1－tanx1＋tanx.证明：法一右边＝1－sinxcosx1＋sinxcosx＝cosx－sinxcosx＋sinx＝（cosx－sinx）2（cosx－sinx）（cosx＋sinx）＝cos2x＋sin2x－2sinxcosxcos2x－sin2x＝1－2sinxcosxcos2x－sin2x＝左边．所以原等式成立．法二左边＝sin2x＋cos2x－2sinxcosxcos2x－sin2x＝（cosx－sinx）2cos2x－sin2x＝cosx－sinxcosx＋sinx＝1－tanx1＋tanx＝右边，所以原等式成立．专题三三角恒等变换的综合应用高考常以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．[例3]已知函数f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在π6，2π3上的单调性．解：(1)f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x＝cosxsinx－32(1＋cos2x)＝12sin2x－32cos2x－32＝sin2x－π3－32，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x∈π6，2π3时，0≤2x－π3≤π，从而当0≤2x－π3≤π2，即π6≤x≤5π12时，f(x)单调递增，当π2≤2x－π3≤π，即5π12≤x≤2π3时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在π6，5π12上单调递增，在5π12，2π3上单调递减．归纳升华高考对三角函数性质的考查主要涉及单调性、奇偶性、周期性等．解答时通常是先将函数简化为形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后根据正弦函数的图象与性质求解．[变式训练](2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x的最大值为()A．4B．5C．6D．7解析：因为f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x＝cos2x＋6sinx＝1－2sin2x＋6sinx＝－2sinx－322＋112，又sinx∈[－1，1]，所以当sinx＝1时，f(x)取得最大值5.答案：B专题四转化与化归思想本章以两角差的余弦公式为基础利用换元法，将两角和的余弦公式转化为两角差的余弦公式的形式，即α＋β＝α－(－β)，从而推导出两角和的余弦公式．然后利用诱导公式实现正弦余弦的转化，推导出两角和(差)的正弦公式．以及二倍角公式的推出都体现了转化与化归的思想．应用该思想解决了三角函数式化简、求值、证明中角的变换、函数名称变换问题，解决了三角函数最值问题．[例4]已知sinπ4＋α·sinπ4－α＝16，α∈π2，π，求sin4α.解：因为α＋π4＋π4－α＝π2，所以sinπ4－α＝cosπ4＋α.所以sinπ4＋α·sinπ4－α＝sinπ4＋α·cosπ4＋α＝12sinπ2＋2α＝12cos2α＝16，又因为π＜2α＜2π，cos2α＝13，所以sin2α＝－232.所以sin4α＝2sin2αcos2α＝－429.归纳升华解三角函数求值问题，要优先考虑角与角之间的关系，π4＋α与π4－α互余，从而化为同角“π4＋α”．[变式训练]已知sinα－β2＝45，cosα2－β＝－1213，且α－β2和α2－β分别为第二、第三象限角，求tanα＋β2的值．解：因为sinα－β2＝45，且α－β2为第二象限角，所以cosα－β2＝－1－sin2α－β2＝－35.又cosα2－β＝－1213，且α2－β为第三象限角，所以sinα2－β＝－1－cos2α2－β＝－513.所以tanα－β2＝－43，tanα2－β＝512，所以tanα＋β2＝tanα－β2－α2－β＝tanα－β2－tanα2－β1＋tanα－β2tanα2－β＝－43－5121－43×512＝－6316.