2019秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第2课时 空间向量与垂

第三章空间向量与立体几何第2课时空间向量与垂直关系[学习目标]1.求直线的方向向量和平面的法向量(重点)．2.利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直．设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．(2)线面垂直．设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv．(3)面面垂直．设平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．2．空间中直线、平面垂直关系的证明方法(1)线线垂直．(2)线面垂直．方法一：根据线面垂直的判定定理转化为线线垂直；方法二：证明直线的方向向量与平面的法向量平行．(3)面面垂直．方法一：根据判定定理证明线面垂直；方法二：证明两个平面的法向量垂直．[思考尝试·夯基]1．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为()A．10B．－10C.12D．－12解析：因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.答案：B2．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝22，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为()A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对答案：C3．若直线l的方向向量为a＝(－1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：因为a＝(－1，0，2)，n＝(－2，0，4)，n＝2a，所以n∥a，所以l⊥α.答案：B4．若直线l1的方向向量为u1＝(1，3，2)，直线l2上有两点A(1，0，1)，B(2，－1，2)，则两直线的位置关系是________．解析：因为AB→＝(1，－1，1)，又u1·AB→＝(1，3，2)·(1，－1，1)＝0，故两直线的位置关系为垂直．答案：垂直5．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1，0，1)，u2＝(0，2，0)，则平面α，β的位置关系为________．解析：因为u1·u2＝(1，0，1)·(0，2，0)＝0，所以两平面的法向量垂直，即两平面垂直．答案：垂直类型1证明线线垂直(自主研析)[典例1]已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝14CC1.求证：AB1⊥MN.解：法一(基向量法)设AB→＝a，AC→＝b，AA1→＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，AB1→＝a＋c，AM→＝12(a＋b)，AN→＝b＋14c，MN→＝AN→－AM→＝－12a＋12b＋14c，所以AB1→·MN→＝(a＋c)·－12a＋12b＋14c＝－12＋12cos60°＋14＝0.所以AB1→⊥MN→，所以AB1⊥MN.法二(坐标法)设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A－12，0，0，B12，0，0，C0，32，0，N0，32，14，B112，0，1，因为M为BC中点，所以M14，34，0.所以MN→＝－14，34，14，AB1→＝(1，0，1)，所以MN→·AB1→＝－14＋0＋14＝0.所以MN→⊥AB1→，所以AB1⊥MN.归纳升华利用空间向量判断空间两直线垂直的方法1．基向量法：(1)取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；(2)把两直线的方向向量用基底表示；(3)利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；(4)由方向向量垂直得到两直线垂直．2．坐标法：(1)根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；(2)根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；(3)计算两直线方向向量的数量积为0；(4)由方向向量垂直得到两直线垂直．[变式训练]如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.证明：以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，3)，D(3，－1，0)，C(0，2，0)，E0，12，32，F32，12，0，EF→＝32，0，－32，BC→＝(0，2，0)．因此EF→·BC→＝0，从而EF→⊥BC→，所以EF⊥BC.类型2证明线面垂直[典例2]如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.证明：法一设A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0.而A1O→＝A1A→＋AO→＝A1A→＋12AB→＋AD→＝c＋12(a＋b)，BD→＝AD→－AB→＝b－a，OG→＝OC→＋CG→＝12(AB→＋AD→)＋12CC1→＝12(a＋b)－12c，所以A1O→·BD→＝c＋12a＋12b·(b－a)＝c·(b－a)＋12(a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋12(b2－a2)＝12(|b|2－|a|2)＝0.所以A1O→⊥BD→，所以A1O⊥BD.同理可证，A1O→⊥OG→，所以A1O⊥OG.又因为OG∩BD＝O，且A1O⊄平面GBD，所以A1O⊥平面GBD.法二如图所示，取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别作x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，所以OA1→＝(1，－1，2)，OB→＝(1，1，0)，BG→＝(－2，0，1)，而OA1→·OB→＝1－1＋0＝0，OA1→·BG→＝－2＋0＋2＝0，所以OA1→⊥OB→，OA1→⊥BG→，即OA1⊥OB，OA1⊥BG，而OB∩BG＝B，且A1O⊄平面GBD，所以A1O⊥平面GBD.法三同法二建系后，设平面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则BG→·n＝0，BD→·n＝0，所以－2x＋z＝0，－2x－2y＝0.令x＝1得z＝2，y＝－1，所以平面GBD的一个法向量为(1，－1，2)，显然A1O→＝(－1，1，－2)＝－n，所以A1O→∥n，所以A1O⊥平面GBD.归纳升华用向量法证明线面垂直的方法与步骤1．基向量法，具体步骤如下：(1)确定基向量作为空间的一个基底，用基向量表示有关直线的方向向量；(2)找出平面内两条相交直线的方向向量，并分别用基向量表示；(3)分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的向量的数量积，根据数量积为0，证得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理得出结论．2．坐标法．方法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并且坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0；方法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．[变式训练]在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，C1B1的中点，G为CC1上任一点，tan∠ECD＝4.(1)求证：AG⊥EF；(2)在CC1上是否存在点G，使AG⊥平面CEF，并说明理由．解：因为ABCD­A1B1C1D1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，设其边长为2a，∠ECD是EC与底面所成的角，tan∠ECD＝4，而∠ECD＝∠CEC1，所以CC1＝4EC1＝4a.以A为原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(2a，2a，0)，D(0，2a，0)，A1(0，0，4a)，B1(2a，0，4a)，C1(2a，2a，4a)，D1(0，2a，4a)，E(a，2a，4a)，F(2a，a，4a)．设G(2a，2a，b)(0≤b≤4a)．(1)AG→＝(2a，2a，b)，EF→＝(a，－a，0)，AG→·EF→＝2a2－2a2＋0＝0，所以AG⊥EF.(2)CE→＝(－a，0，4a)，由(1)知，要使AG⊥平面CEF，只需AG⊥CE，只需AG→·CE→＝(2a，2a，b)·(－a，0，4a)＝－2a2＋4ab＝0，所以b＝12a，即存在点G，当CG＝18CC1时，AG⊥平面CEF.类型3证明面面垂直[典例3]如图所示，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求证：平面ADE⊥平面ABE.证明：取BE的中点O，连接OC，则OC⊥EB，又AB⊥平面BCE，所以以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示．则由已知条件有C(1，0，0)，B(0，3，0)，E(0，－3，0)，D(1，0，1)，A(0，3，2)．设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，则n·EA→＝(a，b，c)·(0，23，2)＝23b＋2c＝0，n·DA→＝(a，b，c)·(－1，3，1)＝－a＋3b＋c＝0.令b＝1，则a＝0，c＝－3，所以可取n＝(0，1，－3)．又AB⊥平面BCE，所以AB⊥OC，所以OC⊥平面ABE，所以平面ABE的法向量可取为m＝(1，0，0)．因为n·m＝(0，1，－3)·(1，0，0)＝0，所以n⊥m，所以平面ADE⊥平面ABE.归纳升华1．利用空间向量证明面面垂直的方法．(1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直问题；(2)直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性．主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，方法很“公式化”．[变式训练]三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝3，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.证明：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，3)，C1(0，1，3)，因为D为BC的中点，所以D点坐标为(1，1，0)，所以BC→＝(－2，2，0)，AD→＝(1，1，0)，AA1→＝(0，0，3)．因为BC→·AD→＝－2＋2＋0＝0，BC→·AA1→＝0＋0＋0＝0，所以BC→⊥AD→，BC→⊥AA1→，所以BC⊥AD，BC⊥AA1.又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.1．用空间向量解决立体几何中的垂直问题，主要运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也需要借助空间中已有的位置关系及关于垂直的定理．2．应用向量证明垂直问题的基本步骤：(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系，选取适当的基底)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线和平面；(2)通过向量运算研究垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题．3．(1)求平面的法向量时应先观察有没有已知的，若没有已知的，则再用常规方法求解；(