2019秋高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2.2 事件的相互独立性课件 新人教A版选修2-3

第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2．2.2事件的相互独立性[学习目标]1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念(重点)．2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题(难点)．1．相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)如果A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．(3)如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．___2．相互独立事件与互斥事件的区别互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，二者不能混淆．温馨提示两个互斥事件不可能同时发生，但相互独立的两个事件是可以同时发生的，相互独立事件和互斥事件之间没有联系．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．()(2)必然事件与任何一个事件相互独立．()(3)“P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A、B相互独立”的充要条件．()解析：根据相互独立事件的概念知，这三个说法都是正确的．答案：(1)√(2)√(3)√2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是()A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D．不相互独立事件解析：根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．答案：D3．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()A.5960B.35C.12D.160解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－23×34×45＝35.答案：B4．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________．解析：因为A，B相互独立，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.P(A|B)＝P(A)＝0.3.答案：0.650.35．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．解析：记两个实习生把零件加工为一等品分别记为事件A和B.则P＝P(AB—)＋P(A—B)＝23×1－34＋1－23×34＝512.答案：512类型1相互独立事件的判断(自主研析)[典例❶]从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A与B；(2)C与A.解：(1)由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K的概率为P(A)＝452＝113，抽到红牌的概率为P(B)＝2652＝12，故P(A)P(B)＝113×12＝126，事件AB为“既抽到K又抽到红牌”，即“抽到红桃K或方块K”，故P(AB)＝252＝126，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此A与B是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，故事件C与事件A不可能同时发生，A与C互斥，由于P(A)＝113≠0，P(C)＝113≠0，而P(AC)＝0，所以A与C不是相互独立事件，又抽不到K不一定抽到J，故A与C并非对立事件．归纳升华判断两个事件是否相互独立的方法：(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．(3)条件概率法：当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．[变式训练]下列事件A，B是相互独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D．A＝“一个灯泡能用1000小时”，B＝“一个灯泡能用2000小时”解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．答案：A类型2求相互独立事件的概率(互动探究)[典例2]小王某天乘火车从广州到上海去办事，若当天从广州到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(-A)＝0.2，P(-B)＝0.3，P(-C)＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(-ABC)＋P(A-BC)＋P(AB-C)＝P(-A)P(B)P(C)＋P(A)P(-B)P(C)＋P(A)P(B)P(-C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(-A—BC)＝1－P(-A)P(-B)P(-C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.[迁移探究]在典例2条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．解：恰有一列火车正点到达的概率P3＝P(A-B-C)＋P(-AB-C)＋P(-A-BC)＝P(A)P(-B)·P(-C)＋P(-A)P(B)P(-C)＋P(-A)P(-B)P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.归纳升华1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤是：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．类型3相互独立事件的实际应用[典例3]甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.求：(1)两人都能破译的概率；(2)两人都不能破译的概率；(3)恰有一人能破译的概率．解：设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A，B相互独立，从而A与B—、A—与B、A—与B—均相互独立．(1)“两个都能破译”为事件AB，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.(2)“两人都不能破译”为事件A—B—，则P(A—B—)＝P(A—)·P(B—)＝[1－P(A)]·[1－P(B)]＝1－13×1－14＝12.(3)“恰有一人能破译”为事件((AB—)∪(A—B))，又AB与A—B互斥．则P((AB—)∪(A—B))＝P(AB—)＋P(A—B)＝P(A)·P(B—)＋P(A—)·P(B)＝13×1－14＋1－13×14＝512.归纳升华解决此类问题的关键是弄清相互独立的事件，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法的运用，即三个公式的联用：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)，P(A)＝1－P(A—)，P(AB)＝P(A)P(B)(A，B相互独立)．[变式训练]某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则被淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是34，12，14，且各阶段通过与否相互独立．(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为X，求X的分布列．解：(1)记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则P(A)＝34，P(B)＝12，P(C)＝14，那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率P＝P(AB—)＝P(A)P(B—)＝34×1－12＝38.(2)X的所有可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝1－34＝14，P(X＝2)＝34×1－12＝38，P(X＝3)＝34×12＝38.故X的分布列为：X123P143838类型4对题意理解不到位致误(误区警示)[典例4]设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是14，求事件A和事件B同时发生的概率．易错提示：在A与B中只有A发生是指“A发生”和“B不发生”这两个事件同时发生，即事件AB—发生．若对此理解有误，则易出现错解．防范措施：应先搞清楚事件的关系，再利用相互独立事件同时发生的概率公式列方程组求解．[规范解答]在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件AB—发生，只有B发生即事件开A—B发生．因为A和B相互独立，所以A与B—，A—和B也相互独立．所以P(AB—)＝P(A)P(B—)＝P(A)[1－P(B)]＝14，①P(A—B)＝P(A—)P(B)＝[1－P(A)]P(B)＝14.②①－②得P(A)＝P(B)．③①③联立可解得P(A)＝P(B)＝12.所以P(AB)＝P(A)P(B)＝12×12＝14.[类题尝试]甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲、乙同时解出的概率为0.48，则该题被解出的概率为多少？解：令事件A，B分别表示甲、乙两人分别独立解出某一道数学题，由题意可知P(A)＝0.6，P(AB)＝0.48，又A，B相互独立，故P(AB)＝P(A)P(B)，所以P(B)＝0.8，从而该题被解出的概率P＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.8＋0.6－0.48＝0.92.1．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的(列表比较)．项目互斥事件相互独立事件定义不可能同时发生的两个事件事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)P(AB)＝P(A)P(B)2.求相互独立事件的概率一般采用以下解题步骤：(1)判定各事件是否相互独立；(2)求每个事件发生的概率；(3)求相互独立事件同时发生的概率．3．在解此类题时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的含义，以免混淆．