2019秋高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1.2 离散型随机变量的分布列 第1课时 离散型随

第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2．1.2离散型随机变量的分布列第1课时离散型随机变量的分布列[学习目标]1.理解取有限值的离散型随机变量分布列的概念与性质．了解分布列对于刻画随机现象的重要性(重点)．2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列(重点、难点).1．离散型随机变量的分布列的定义一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．2．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0，i＝1，2，3，…，n；(2)i＝1npi＝1．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意实数．()(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．()(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()解析：(1)错，每一个可能值对应的概率只能是区间[0，1]上的某一个值．(2)错，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．(3)对，由分布列的概念知说法正确．答案：(1)×(2)×(3)√2．若随机变量X的概率分布列为：P(X＝n)＝an（n＋1）(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P12＜X＜52的值为()A.23B.34C.45D.56解析：因为P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝a1－15＝1，所以a＝54.所以P12＜X＜52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝a1×2＋a2×3＝a1－13＝54×23＝56.答案：D3．如果ξ是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是()A．ξ取每个可能值的概率是非负实数B．ξ取所有可能值的概率之和为1C．ξ取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D．ξ取某2个可能值的概率大于分别取其中每个值的概率之和解析：根据离散型随机变量的分布列的性质知选项A、B、C是真命题，选项D是假命题．答案：D4．设离散型随机变量X的分布列如下X1234P161316p则p的值为()A.12B.16C.13D.14解析：由分布列的性质可知p＝1－16－13－16＝13.答案：C5．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是()A.ξ101P141214B.ξ012P－143212C.D.ξ012P152535ξ－101P141412解析：本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1，2，…，n，P(ξi)＝1.A中ξ的取值出现了重复；B中P(ξ＝0)＝－140，C中P(ξi)＝15＋25＋35＝651.答案：D类型1求离散型随机变量的分布列(自主研析)[典例1]一个口袋里装有5个同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个，设随机变量X表示取出的球的最小号码，求X的分布列．解：因为同时取3个球，X表示取出的球的最小号码，故随机变量X可能的取值为1，2，3.当X＝1时，其他两球可在剩余的4个球中任意选取，因此P(X＝1)＝C24C35＝35＝0.6；当X＝2时，其他两球可在编号为3，4，5的球中选取，因此P(X＝2)＝C23C35＝310＝0.3；当X＝3时，其他两球只可能是4，5号球，因此P(X＝3)＝C22C35＝110＝0.1.所以X的分布列为：X123P0.60.30.1归纳升华1.解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件，利用排列组合知识求出X取每个值的概率．2.求离散型随机变量的分布列的步骤：(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2，3，…，n)以及X取每个值的意义；(2)求出取各值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格得到分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验．[变式训练]某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．解：将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，则X的可能取值为1，2，3，4.P(X＝1)＝C110C145＝29，P(X＝2)＝C112C145＝415，P(X＝3)＝C18C145＝845，P(X＝4)＝C115C145＝13.故其分布列为：X1234P2941584513类型2离散型随机变量的分布列的性质[典例2]设随机变量X的分布列PX＝k4＝(a＋1)k(k＝1，2，3，4)．(1)求常数a的值；(2)求PX＞12，P15＜X＜45.解：(1)由已知可得PX＝14＋PX＝12＋PX＝34＋P(X＝1)＝1，即(a＋1)(1＋2＋3＋4)＝1，解得a＝－910.(2)由(1)可知PX＝k4＝k10(k＝1，2，3，4)，所以PX＞12＝PX＝34＋P(X＝1)＝310＋410＝710，P15＜X＜45＝PX＝14＋PX＝12＋PX＝34＝110＋210＋310＝35.归纳升华要充分注意到分布列的两条重要的性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.它是离散型随机变量的分布列所必须要遵循的原则．[变式训练]设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：ξ－101P121－2qq2(1)求q的值；(2)求P(ξ0)，P(ξ≤0)．解：(1)由分布列的性质得，11－2q≥0，1q2≥0，且12＋(1－2q)＋q2＝1，所以q＝1－22.(2)P(ξ0)＝P(ξ＝－1)＝12，P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝12＋1－21－22＝2－12.类型3离散型随机变量分布列应用(规范解答)[典例3]甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选试题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：(1)甲答对试题数X的分布列；(2)乙所得分数Y的分布列．审题指导：首先弄清楚变量X和Y的取值，其次根据古典概率公式求出P(X＝k)的值，再写成分布列．[规范解答](1)X的可能取值为0，1，2，3.(1分)P(X＝0)＝C34C310＝4120＝130，P(X＝1)＝C24C16C310＝36120＝310，(3分)失分警示：要明确“X＝1”的意义，才能正确求X＝1时所对应的概率P(X＝2)＝C14C26C310＝60120＝12，P(X＝3)＝C36C310＝20120＝16.(5分)所以甲答对试题数X的分布列为：X0123P1303101216(6分)(2)乙答对试题数可能为1，2，3，所以乙所得分数Y为5或10或15.(8分)P(Y＝5)＝C22C18C310＝8120＝115，(9分)P(Y＝10)＝C12C28C310＝56120＝715，(10分)P(Y＝15)＝C38C310＝56120＝715.(11分)所以乙所得分数Y的分布列为：Y51015P115715715(12分)失分警示：这里极易忽视已知条件“乙能答对8道题”，而错误地认为“Y可取0，5，10，15”归纳升华应用离散型随机变量的分布列解决实际问题时，首先要根据具体情况确定随机变量ξ的取值，然后利用排列组合与概率知识求出ξ取各个值时的概率．[类题尝试]盆中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半，现从该盒中随机取出一个球．若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，则从该盒中随机取出一球所得分数X的分布列．解：设黄球的个数为n，则绿球个数为2n，红球个数为4n，球的总数为7n，X可取1，0，－1.所以P(X＝1)＝4n7n＝47，P(X＝0)＝n7n＝17，P(X＝1)＝2n7n＝27.所以从该盒中取出一球所得分数X的分布列为：X－101P2717471．离散型随机变量分布列的特点．(1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况．(2)一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．2．求随机变量的分布列，首先要弄清随机变量所有可能的取值，然后利用所学概率知识求取每个值的概率，并列出表格，即得分布列．