2019秋高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第2课时 等差、等比数列的综合应用课件

第二章数列第2课时等差、等比数列的综合应用[学习目标]1.掌握等比数列前n项和的性质的应用．(重点)2.掌握等差数列与等比数列的综合应用．3.能用分组求和法求和．[知识提炼·梳理]1．等比数列前n项和的变式当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝a1（1－qn）1－q，它可以变形为Sn＝－a11－q·qn＋a11－q，设A＝a11－q，上式可写成Sn＝－A·qn＋A．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．2．等比数列前n项和的性质性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则：①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇＝q．②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.()(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1－1，则a＝1.()(3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．()(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝()A．7B．8C．15D．16解析：设等比数列的公比为q，则由4a1，2a2，a3成等差数列，得4a2＝4a1＋a3.所以4a1q＝4a1＋a1q2，所以q2－4q＋4＝0，所以q＝2.所以S4＝a1（1－q4）1－q＝15.答案：C3．数列112，214，318，4116，…的前n项和为()A.12(n2＋n＋2)－12nB.12n(n＋1)＋2－12nC.12(n2－n＋2)－12nD.12n(n＋1)＋1－12n解析：Sn＝(112＋214＋318＋…＋n12n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(12＋14＋18＋…＋12n)＝n（n＋1）2＋121－12n1－12＝n（n＋1）2＋1－12n＝12(n2＋n＋2)－12n.答案：A4．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31B．32C．63D．64解析：由等比数列的性质得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.答案：C5．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝__________________．解析：设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列，所以（x－2）2＝2（14－x），（14－x）2＝（x－2）（y－14），所以x＝6，y＝30，或x＝－4，y＝－40(舍去)，所以S4n＝30.答案：30类型1分组求和法求和[典例1]求数列214，418，6116，…，2n＋12n＋1，…的前n项和Sn.解：Sn＝214＋418＋6116＋…＋2n＋12n＋1＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋122＋123＋124＋…＋12n＋1＝n（2n＋2）2＋1221－12n1－12＝n(n＋1)＋12－12n＋1.归纳升华分组转化求和法的应用条件和解题步骤1．应用条件：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．2．解题步骤：[变式训练]求和：9＋99＋999＋…＋．解：原式＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)＝(10＋102＋…＋10n)－n＝10（10n－1）10－1－n＝109(10n－1)－n.类型2等比数列前n项和性质的应用[典例2]在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解：法一因为S2n≠2Sn，所以q≠1，由已知得a1（1－qn）1－q＝48，①a1（1－q2n）1－q＝60，②②÷①得1＋qn＝54，即qn＝14.③③代入①得a11－q＝64，所以S3n＝a1（1－q3n）1－q＝641－143＝63.法二因为{an}为等比数列，显然公比不等于1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以S3n＝（S2n－Sn）2Sn＋S2n＝（60－48）248＋60＝63.归纳升华1．与前n项和、通项有关的问题，都可以通过构造方程(组)先求得数列的基本量，然后求解．在等比数列的相关问题中，常常用到设而不求的思想．2．考查等比数列前n项和的性质的试题在高考中经常出现，应熟练掌握和应用．[变式训练]一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．解：法一设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)．由已知a1＝1，q≠1，有1－q2n1－q2＝85，①q（1－q2n）1－q2＝170.②由②÷①，得q＝2，所以1－4n1－4＝85，4n＝256，所以n＝4.故公比为2，项数为8.法二因为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q.所以q＝S偶S奇＝17085＝2.又Sn＝85＋170＝255，由Sn＝a1（1－qn）1－q，得1－2n1－2＝255，所以2n＝256，所以n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.类型3等差、等比数列的综合应用[典例3](2018·天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．解：(1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q0，可得q＝2，故bn＝2n－1.所以，Tn＝1－2n1－2＝2n－1.设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n，所以Sn＝n（n＋1）2.(2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2×（1－2n）1－2－n＝2n＋1－n－2.由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得n（n＋1）2＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)，或n＝4.所以n的值为4.归纳升华1．等差、等比数列的综合应用题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力．2．利用错位相减法求和时，要注意以下几点：(1)错位相减法求和，只适合于数列{anbn}，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．(2)在等式两边所乘的数是等比数列{bn}的公比．(3)两式相减时，一定要错开一位．(4)进行检验．[变式训练](2018·浙江卷)已知等比数列{an}的公比q1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.(1)求q的值；(2)求数列{bn}的通项公式．解：(1)由a4＋2是a3，a5的等差中项得a3＋a5＝2a4＋4，所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8.由a3＋a5＝20，得8q＋1q＝20，解得q＝2或q＝12，因为q1，所以q＝2.(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}的前n项和为Sn.由cn＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，解得cn＝4n－1.由(1)可知an＝2n－1，所以bn＋1－bn＝(4n－1)·12n－1，故bn－bn－1＝(4n－5)·12n－2，n≥2，bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)·12n－2＋(4n－9)·12n－3＋…＋7·12＋3.设Tn＝3＋7·12＋11·122＋…＋(4n－5)·12n－2，n≥2，12Tn＝3·12＋7·122＋…＋(4n－9)·12n－2＋(4n－5)·12n－1，所以12Tn＝3＋4·12＋4·122＋…＋4·12n－2－(4n－5)·12n－1，因此Tn＝14－(4n＋3)·12n－2，n≥2，又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)·12n－2.1．等比数列前n项和的性质．2．等差、等比数列中，已知a1、an、n、d(q)、Sn中三个量，“知三求二”即可求出另外两个量，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项法、分组求和法等．