2019秋高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列前n项和的求解课件

第二章数列2．5等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的求解[学习目标]1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．(重点)2.会用等比数列的前n项和公式解决一些简单的与等比数列有关的问题．(重点，难点)[知识提炼·梳理]1．等比数列前n项和公式(1)公式：Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1；na1，q＝1.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法．一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①用公比q乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得Sn＝a1（1－qn）1－q(q≠1)．(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝a1（1－qn）1－q来求．()(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.()(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．()(4)等比数列的前n项和不可以为0.()解析：(1)错误．在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.(3)正确．根据等比数列前n项和公式Sn＝a1（1－qn）1－q(q≠0且q≠1)变形为：Sn＝a11－q－a11－qqn(q≠0且q≠1)，若令a＝a11－q，则和式可变形为Sn＝a－aqn.(4)错误，可以为0，如：1，－1，1，－1，…的和．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于()A．93B．－93C．45D．－45解析：因为a1＝3，q＝2，所以S5＝a1（1－q5）1－q＝3×（1－25）1－2＝93.答案：A3．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于()A.1－xn1－xB.1－xn－11－xC.1－xn1－x，x≠1，n，x＝1D.1－xn－11－x，x≠1，n1，x＝1答案：C4．在等比数列{an}(n∈N*)中，若a1＝1，a4＝18，则该数列的前10项和为()A．2－128B．2－129C．2－1210D．2－1211解析：设公比为q，由a4＝1×q3＝18，得q＝12，则S10＝a1（1－q10）1－q＝2－129.答案：B5．数列{an}的通项公式为an＝2n－12n，则它的前n项和Sn＝________．解析：Sn＝12＋34＋58＋716＋…＋2n－12n，所以12Sn＝14＋38＋516＋732＋…＋2n－12n＋1，两式相减得12Sn＝12＋24＋28＋216＋…＋22n－2n－12n＋1＝12＋12＋14＋…＋12n－1－2n－12n＋1＝12＋121－12n－11－12－2n－12n＋1＝32－2n＋32n＋1，所以Sn＝3－2n＋32n.答案：3－2n＋32n类型1等比数列求和公式的基本运算[典例1]在等比数列{an}中：(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求S5；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.解：(1)由题意知a1（1＋q）＝30，a1（1＋q＋q2）＝155，解得a1＝5，q＝5，或a1＝180，q＝－56，解得Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1080×1－－56n11.(2)法一由题意知a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，解得a1＝8，q＝12.所以S5＝a1（1－q5）1－q＝312.法二由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝18，从而q＝12.又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，所以S5＝a1（1－q5）1－q＝312.(3)因为a2an－1＝a1an＝128，a1＋an＝66，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根．从而解得a1＝2，an＝64或an＝2，a1＝64.又Sn＝a1－anq1－q＝126，所以q为2或12.归纳升华1．在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，就能求出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要判断公比q是否等于1，若两种情况都有可能，则要分类讨论．[变式训练]在等比数列{an}中：(1)若a1＝2，an＝162，Sn＝112，求n和q；(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.解：(1)由Sn＝a1－anq1－q得112＝2－162q1－q，所以q＝－2，又由an＝a1qn－1得162＝2(－2)n－1，所以n＝5.(2)若q＝1，则S8＝2S4，不合题意，所以q≠1，所以S4＝a1（1－q4）1－q＝1，S8＝a1（1－q8）1－q＝17，两式相除得1－q81－q4＝17＝1＋q4，所以q＝2或q＝－2，所以a1＝115或a1＝－15，所以an＝115·2n－1或an＝－15·(－2)n－1.类型2用错位相减法求数列的和(互动探究)[典例2]设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．解：(1)令n＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a21.因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2时，由2an－1＝Sn，2an－1－1＝Sn－1两式相减，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1.于是数列{an}是以首项为1，公比为2的等比数列．因此，an＝2n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)知，nan＝n·2n－1，记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，②①－②，得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n，从而Bn＝1＋(n－1)·2n.[迁移探究]若典例2(2)改为求数列{anlog2an}的前n项和，如何解答？解：由(1)知anlog2an＝2n－1log22n－1＝(n－1)2n－1，记其前n项和为kn，于是kn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1，①2kn＝1×22＋2×23＋…＋(n－2)·2n－1＋(n－1)·2n，②①－②得－kn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－1)·2n＝2n－2－(n－1)·2n所以kn＝2＋(n－2)·2n.归纳升华错位相减法的适用范围及注意事项1．适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．2．注意事项：(1)利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．(2)利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．[变式训练]已知数列{an}是首项a1＝14，公比q＝14的等比数列，设bn＋3log4an＋2＝0，数列{cn}满足cn＝an·bn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{cn}的前n项和Sn.解：(1)由题意，得an＝14n，bn＝－3log4an－2，故bn＝3n－2，(2)由(1)知an＝14n，bn＝3n－2，所以cn＝(3n－2)14n.所以Sn＝1×14＋4×142＋7×143＋…＋(3n－5)×14n－1＋(3n－2)×14n，①于是14Sn＝1×142＋4×143＋7×144＋…＋(3n－5)×14n＋(3n－2)×14n＋1.②①－②，得34Sn＝14＋3×142＋143＋…＋14n－(3n－2)×14n＋1＝12－(3n＋2)×14n＋1.所以Sn＝23－3n＋23×14n.类型3等比数列前n项和的实际应用[典例3]某地现有居民住房的总面积为am2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少(可取1.110≈2.6)?(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当地住房的总面积的百分比是多少(保留到小数点后第1位)?解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为：1.1a－x；2年后住房总面积为：1.1(1.1a－x)－x＝1.12a－1.1x－x；3年后住房总面积为：1.1(1.12a－1.1x－x)－x＝1.13a－1.12x－1.1x－x；…10年后住房总面积为：1.110a－1.19x－1.18x－…－1.1x－x＝1.110a－1.110－11.1－1x≈2.6a－16x.由题意，得2.6a－16x＝2a.解得x＝380a(m2)．(2)所求百分比为a2－380a×102a＝116≈6.3%.归纳升华解决数列应用题的思路和方法1．认真审题，准确理解题意，明确是属于等差数列问题还是属于等比数列问题，要确定a1与项数n的实际意义，同时要搞清是求an还是Sn.2．抓住题目中的主要数量关系，联想数学知识和方法，恰当引入参数变量，将文字语言转化为数学语言，将数量关系用数学式子表达出来．3．将已知和所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．[变式训练]王老师借贷10000元，月利率为1%，每月以复利计息借贷，从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.016≈1.061，1.015≈1.051)?解：一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[（1＋0.01）6－1]1.01－1＝a(1.016－1)×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1.因为1.016≈1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1739.故每月应支付1739元．