2019秋高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第2课时 等比数列的性质课件 新人教A版必修5

第二章数列第2课时等比数列的性质[学习目标]1.探索发现等比数列的性质，并能应用性质灵活地解决一些实际问题．(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点)[知识提炼·梳理]1．推广的等比数列的通项公式{an}的等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．2．“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk．3．等比数列项的运算性质在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq．①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a2k．②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….4．两等比数列合成数列的性质若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a2n}{an·bn}，anbn也为等比数列．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．()(2)当q＞1时，{an}为递增数列．()(3)当q＝1时，{an}为常数列．()(4)若{an}为等比数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am·an＝ap.()解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确．(2)错误，当q＞1，a1＞0时，{an}才为递增数列．(3)正确，当q＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列．(4)错误，因为{an}为等比数列，m＋n＝p，所以am·an＝a1qm－1·a1·qn－1＝a21qm＋n－2.又知ap＝a1qp－1，所以am·an≠ap.答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．如果数列{an}是等比数列，那么()A．数列{a2n}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lgan}是等比数列D．数列{nan}是等比数列解析：利用等比数列的定义验证即可．答案：A3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝()A．－25B．25C．10D．20解析：运用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq，可得a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5，所以a8·a9·a10·a11＝25.答案：B4．在等比数列{an}中，若a3a6＝9，a2a4a5＝27，则a2的值为()A．2B．3C．4D．9解析：因为{an}为等比数列，所以a3a6＝a4a5＝9，又因为a2a4a5＝27，所以a2＝3.答案：B5．在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．解析：设插入的3个数依次为a，b，c，即12，a，b，c，8成等比数列．由等比数列的性质可得b2＝ac＝12×8＝4，因为a2＝12b0，所以b＝2.所以这3个数的积为abc＝4×2＝8.答案：8类型1等比数列性质的应用(互动探究)[典例1](1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7；(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.解：(1)法一由题意得a1q2＝3，a1q10＝27，相除得q8＝9，所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.法二因为a27＝a3·a11＝81，所以a7＝±9，又因为a7＝a3·q4＝3q40，所以a7＝9.(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.所以q4＝a7a3＝4或14，所以q＝±2或q＝±22.归纳升华有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷．为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．[变式训练]已知{an}为等比数列．(1)等比数列{an}满足a2a4＝12，求a1a23a5；(2)若an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(3)若an0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解：(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝12，所以a23＝a1a5＝a2a4＝12，所以a1a23a5＝14.(2)由等比中项，化简条件得a23＋2a3a5＋a25＝25，即(a3＋a5)2＝25，因为an0，所以a3＋a5＝5.(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝log395＝10.类型2灵活设项求解等比数列问题[典例2](1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13，则成等差数列，则这四个数的和是________．(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．(1)解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列，由题意可知2（aq－1）＝（a－1）＋（aq2－4），2（aq2－4）＝（aq－1）＋（aq3－13），整理得a（q－1）2＝3，aq（q－1）2＝6，解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.答案：45(2)解：法一设前三个数为aq，a，aq，则aq·a·aq＝216，所以a3＝216，所以a＝6.因此前三个数为6q，6，6q.由题意知第4个数为12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝23.故所求的四个数为9，6，4，2.法二设后三个数为4－d，4，4＋d，则第一个数为14(4－d)2，由题意知14(4－d)2·(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2，故所求得的四个数为9，6，4，2.归纳升华几个数成等比数列的设法1．三个数成等比数列，设为aq，a，aq.推广到一般：奇数个数成等比数列，设为：…，aq2，aq，a，aq，aq2，…2．四个符号相同的数成等比数列，设为：aq3，aq，aq，aq3.推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列，设为：…，aq5，aq3，aq，aq，aq3，aq5，…3．四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.[变式训练]已知四个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－32，则这四个数依次为_______．解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a4q6＝1，aq（1＋q）＝－32，解得a＝－18，q＝－4，或a＝8，q＝－14，所以所求四个数依次为8，－2，12，－18或－18，12，－2，8.答案：8，－2，12，－18或－18，12，－2，8类型3等比数列的综合应用[典例3]在等差数列{an}中，公差d≠0，且a2是a1和a4的等比中项，已知a1，a3，ak1，ak2，ak3，…，akn成等比数列，求数列k1，k2，k3，…，kn的通项kn.解：由题意得：a22＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，又d≠0，所以a1＝d.又a1，a3，ak1，ak2，…，akn成等比数列，所以该数列的公比为q＝a3a1＝3dd＝3，所以akn＝a1·3n＋1.又akn＝a1＋(kn－1)d＝kna1，所以kn＝3n＋1，所以数列{kn}的通项为kn＝3n＋1.归纳升华求解等差、等比数列综合问题的技巧1．理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系．2．发挥两个数列的基本量a1，d或a1，q的作用，并用好方程这一工具．3．结合题设条件对求出的量进行必要的检验．[变式训练]已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．解析：由a2，a3，a7成等比数列，得a23＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)·(a1＋6d)，整理得2d2＋3a1d＝0，因为公差d不为零，所以d＝－32a1，又2a1＋a2＝1，所以2a1＋a1＋d＝1，即3a1－32a1＝1，解得a1＝23，d＝－1.答案：23－11．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得出一些等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性质更重要．2．适当记忆一些性质，利用性质提高解题速度与解题的正确率，如用等比数列的性质：若m＋n＝p＋k，则aman＝apak，可以解决许多相关问题．3．等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常遇到，要准确判断，用好定义与通项公式．