2019秋高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A版必修4

第二章平面向量2．3.4平面向量共线的坐标表示[学习目标]1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件(重点)．2.会根据平面向量的坐标解决向量共线问题(重点、难点)．[知识提炼·梳理]平面向量共线的坐标表示前提条件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0结论当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设a＝(x1y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b等价于x1x2＝y1y2.()(2)向量(1，2)与向量(4，8)共线．()(3)向量(2，3)与向量(－4，－6)反向．()解析：(1)错误．如a＝(0，1)，b＝(0，2)，a∥b，而x1x2＝y1y2无意义．(2)正确．因为(4，8)＝4(1，2)，所以向量(1，2)与向量(4，8)共线．(3)正确．因为(－4，－6)＝－2(2，3)，所以向量(2，3)与向量(－4，－6)反向．答案：(1)×(2)√(3)√2．下列各组中的两个向量，共线的是()A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6)B．a2＝(1，－2)，b2＝(7，14)C．a3＝(2，3)，b3＝(3，2)D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－4)解析：对于A，－2×6－4×3≠0；对于B，1×14－7×(－2)≠0；对于C，2×2－3×3≠0；对于D，－3×(－4)－6×2＝0.所以a4与b4共线，其余三组不共线．答案：D3．已知向量a＝(3，1)，b＝(x，－1)，若a－b与b共线，则x的值等于()A．－3B．1C．2D．1或2解析：因为a＝(3，1)，b＝(x，－1)，所以a－b＝(3－x，2)．又因为a－b与b共线，所以2x＝x－3，所以x＝－3.答案：A4．已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________．解析：由a∥b得－6＝2λ⇒λ＝－3.答案：－35.已知A(1，2)，B(4，5)．若AP→＝2PB→，则点P的坐标为________．解析：设P(x，y)，所以AP→＝(x－1，y－2)，PB→＝(4－x，5－y)，又AP→＝2PB→，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，即x－1＝2（4－x），y－2＝2（5－y），解得x＝3，y＝4.所以点P的坐标为(3，4)．答案：(3，4)类型1向量共线的判定及应用[典例1](1)(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________．(2)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？(1)解析：因为a＝(m，4)，b＝(3，－2)，a∥b，所以－2m－4×3＝0.所以m＝－6.答案：－6(2)解：法一ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，所以k－3＝10λ，2k＋2＝－4λ，解得k＝λ＝－13.当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，因为λ＝－130，所以ka＋b与a－3b反向．法二由题意知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－13.这时ka＋b＝－13－3，－23＋2＝－13(a－3b)．所以当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．归纳升华1．向量共线的判定方法．(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)⇒a∥b；(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．2．向量共线求参数值的步骤．(1)求：根据题意求出有关向量的坐标；(2)列：利用向量共线的坐标表示得到有关参数的方程(组)；(3)解：解得参数的值．[变式训练]已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，当a∥b时，实数λ等于()A．－1B．0C．－12D．－2解析：因为e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，所以a＝2(1，0)＋(0，1)＝(2，1)，b＝λ(1，0)－(0，1)＝(λ，－1)．因为a∥b，所以2×(－1)－λ＝0，解得λ＝－2.答案：D类型2三点共线问题[典例2](1)若点A(1，－3)，B8，12，C(x，1)共线，则x＝________；(2)设向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？(1)解析：AB→＝7，72，AC→＝(x－1，4)．因为A，B，C共线，所以AB→与AC→共线．所以7×4－72(x－1)＝0，解得x＝9.答案：9(2)解：法一若A，B，C三点共线，则AB→，AC→共线，则存在实数λ，使得AB→＝λAC→，因为AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)．所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)．即4－k＝λ（10－k），－7＝λ（k－12），解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或11时，A、B、C三点共线．法二由题意知AB→，AC→共线，因为AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或11时，A、B、C三点共线．归纳升华三点共线的实质与证明步骤1．实质：三点共线问题的实质是向量共线问题，两个非零向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．2．证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成，第一步，证明向量平行；第二步，证明两个向量有公共点．[变式训练]如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，证明：(1)DE∥BC；(2)D，M，B三点共线．证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD→|＝1，则|DC→|＝1，|AB→|＝2.因为CE⊥AB，而AD＝DC，所以四边形AECD为正方形，所以可求得各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0)．(1)因为ED→＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，BC→＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，所以ED→＝BC→，所以ED→∥BC→，即DE∥BC.(2)连接MB，MD，因为M为EC的中点，所以M0，12，所以MD→＝(－1，1)－0，12＝－1，12，MB→＝(1，0)－0，12＝1，－12，所以MD→＝－MB→，所以MD→∥MB→.又MD与MB有公共点M，所以D，M，B三点共线．类型3向量共线在几何中的应用[典例3]如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标．解：法一由O、P、B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4，4λ)，AC→＝OC→－OA→＝(－2，6)．由AP→与AC→共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34.所以OP→＝34OB→＝(3，3)，所以P点的坐标为(3，3)．法二设P(x，y)，则OP→＝(x，y)，因为OB→＝(4，4)，且OP→与OB→共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2，6)，且AP→与AC→共线，则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为(3，3)．归纳升华应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤[变式训练]已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是________．解析：若点A，B，C不能构成三角形，则只能共线．因为AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC→＝OC→－OA→＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以若A，B，C三点能构成三角形，则m≠1.答案：m≠11．两个向量共线条件的表示方法．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)当b≠0时，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.(3)当x2y2≠0时，x1x2＝y1y2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标表示的应用．两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据.