2019秋高中数学 第二章 平面向量 2.3.3 平面向量的坐标运算课件 新人教A版必修4

第二章平面向量2．3.2平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3平面向量的坐标运算[学习目标]1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，理解平面向量与坐标之间的对应关系(重点、难点)．2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算(重点)．[知识提炼·梳理]1．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．(3)坐标表示：a＝(x，y)．(4)特殊向量的坐标：i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．温馨提示点的坐标与向量坐标的区别与联系区别表示形式不同向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同3.平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：表示方法文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝(λx1，λy1)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)温馨提示向量既有几何表示下图形的几何运算，又有坐标表示下的代数运算，说明向量是数形结合的载体．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)零向量的坐标是(0，0)．()(2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()(3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()(4)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．若向量AB→＝(1，2)，BC→＝(3，4)，则AC→等于()A．(4，6)B．(－4，－6)C．(－2，－2)D．(2，2)解析：由AC→＝AB→＋BC→＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6)．答案：A3．若向量AB→＝(2，4)，BC→＝(－1，2n)，AC→＝(m，2)，m，n∈R，则m＋n的值为()A．－2B．－1C．0D．1解析：因为AC→＝AB→＋BC→，所以(m，2)＝(2，4)＋(－2，2n)，即m＝2－2，2＝4＋2n，得m＝0，n＝－1.则m＋n＝－1.答案：B4．若O(0，0)，A(－1，3)且OB→＝3OA→，则点B的坐标为________．解析：OB→＝3OA→＝3(－1，3)＝(－3，9)，所以点B的坐标为(－3，9)．答案：(－3，9)5．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB→相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x＝________．解析：易得AB→＝(2，0)，由a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB→相等得x＋3＝2，x2－3x－4＝0，解得x＝－1.答案：－1类型1平面向量的坐标表示[典例1](1)在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标；(2)已知点O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量AB→，BC→的坐标．解：(1)设点A(x，y)，B(x0，y0)，因为|a|＝2，且∠AOx＝45°，所以x＝2cos45°＝2，且y＝2sin45°＝2.又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，所以x0＝3cos120°＝－32，y0＝3sin120°＝332.故a＝OA→＝(2，2)，b＝OB→＝－32，332.(2)建立如图所示的平面直角坐标系．因为|OB→|＝1，∠AOB＝150°，所以B(－cos30°，sin30°)，所以B－32，12.因为|OC→|＝3，∠BOC＝90°，所以C(－3sin30°，－3cos30°)，即C－32，－332.所以BC→＝－32，－332－－32，12＝(3－32，－332－12)，易知A(2，0)，所以AB→＝－32，12－(2，0)＝－32－2，12.归纳升华1．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．2．求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．[变式训练]如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA→＝a，AB→＝b.四边形OABC为平行四边形．(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量BA→的坐标；(3)求点B的坐标．解：(1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos45°＝4×22＝22，AM＝OA·sin45°＝4×22＝22.所以A(22，22)，故a＝(22，22)．因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，所以∠COy＝30°.又因为OC＝AB＝3，所以C－32，332，所以AB→＝OC→＝－32，332，即b＝－32，332.(2)BA→＝－AB→＝32，－332.(3)OB→＝OA→＋AB→＝(22，22)＋－32，332＝22－32，22＋332.即点B的坐标为22－32，22＋332.类型2平面向量的坐标运算[典例2]已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b.解：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)．(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)．(3)12a－13b＝12(－1，2)－13(2，1)＝－12，1－23，13＝－76，23.归纳升华平面向量坐标的线性运算的方法1．若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．2．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．3．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[变式训练]已知点A，B，C的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，则AB→＋2BC→＝________，BC→－12AC→＝________．解析：因为A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，所以AB→＝(－2，10)，BC→＝(－8，4)，AC→＝(－10，14)，所以AB→＋2BC→＝(－2，10)＋2(－8，4)＝(－18，18)，BC→－12AC→＝(－8，4)－12(－10，14)＝(－3，－3)．答案：(－18，18)(－3，－3)类型3平面向量坐标运算的应用[典例3]已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，试求λ为何值时：(1)点P在一、三象限角平分线上？(2)点P在第三象限内？解：设点P的坐标为(x，y)，则AP→＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，AB→＋λ·AC→＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．因为AP→＝AB→＋λAC→，所以x－2＝3＋5λ，y－3＝1＋7λ.则x＝5＋5λ，y＝4＋7λ.(1)若P在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，所以λ＝12，所以λ＝12时，点P在一、三象限角平分线上．(2)若P在第三象限内，则5＋5λ0，4＋7λ0，所以λ－1.当λ－1时，点P在第三象限内．归纳升华解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)或不等式(组)求解．[变式训练]已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析：因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以2m＋n＝9，m－2n＝－8，所以m＝2，n＝5，所以m－n＝2－5＝－3.答案：－31．对向量正交分解的认识．(1)向量的正交分解是平面向量基本定理的一种特例．(2)正交分解的两个基向量互相垂直，构成正交基底．2．解读平面向量的坐标表示．(1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(2)向量确定后，向量的坐标就被确定了．(3)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，另一种是坐标法．有了向量的坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决．3．点的坐标与向量的坐标的区别和联系．(1)区别：①意义．点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的坐标反映的是向量的大小和方向，与位置无关．②表示形式．如点A(x，y)，向量a＝OA→＝(x，y)．(2)联系：把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点，表示向量a的有向线段的终点的坐标就是向量a的坐标．4．相等向量坐标之间的关系．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.