2019秋高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4

第二章平面向量2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1平面向量基本定理[学习目标]1.理解平面向量基本定理(重点、难点)．2.会用基底表示平面内任一向量(重点)．3.理解两个非零向量的夹角与垂直的定义(重点)．[知识提炼·梳理]1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2.两个非零向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图所示)．①范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°．②当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.温馨提示引入夹角概念的目的是从数量上研究两向量特别是不共线向量的关系．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)基底中的向量不能为零向量．()(2)任意两个向量都可以作为基底．()(3)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．()答案：(1)√(2)×(3)√2．下列关于基底的说法正确的是()①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．A．①B．②C．①③D．②③解析：零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．答案：C3．设O，A，B，M为平面上四点，OM→＝λOA→＋(1－λ)OB→，λ∈(0，1)，则()A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，B，M四点共线解析：因为OM→＝λOA→＋(1－λ)OB→，λ∈(0，1)，所以OM→－OB→＝λ(OA→－OB→)，所以BM→＝λBA→，故点M在线段AB上．答案：A4.已知向量a，b的夹角为60°，则向量－a与b的夹角为________，2a与23b的夹角为________．解析：根据向量夹角定义作图如下，图①图②则①向量－a与b的夹角为120°；②向量2a与23b的夹角为60°.答案：120°60°5．设e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a＝e1＋λe2与向量b＝－e1＋2e2共线的条件是________．解析：要使a与b共线，只需1－1＝λ2，所以λ＝－2.答案：λ＝－2类型1平面向量基本定理(巧思妙解)[典例1]如图所示，在平行四边形ABCD中，设对角线AC→＝a，BD→＝b，试用基底a，b表示AB→，BC→.[常规解法]设AC，BD交于点O，则有AO→＝OC→＝12AC→＝12a，BO→＝OD→＝12BD→＝12b.所以AB→＝AO→＋OB→＝AO→－BO→＝12a－12b，BC→＝BO→＋OC→＝12a＋12b.[巧妙解法]设AB→＝x，BC→＝y，则AD→＝BC→＝y，又AB→＋BC→＝AC→，AD→－AB→＝BD→，则x＋y＝a，y－x＝b，所以x＝12a－12b，y＝12a＋12b，即AB→＝12a－12b，BC→＝12a＋12b.归纳升华用基底向量表示其他向量时，常规解法是通过观察图象直接寻求向量之间的关系；巧妙解法是采用方程思想，将所求的向量看作是未知量，列出方程组，利用方程思想解得所求的向量．[类题尝试]已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用a，b表示c.[常规解法]设c＝xa＋yb，则7e1－4e2＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2.由平面向量基本定理知3x－2y＝7，－2x＋y＝－4，解得x＝1，y＝－2.所以c＝a－2b.[巧妙解法]由a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，解得e1＝－a－2b，e2＝－2a－3b.所以c＝7e1－4e2＝7(－a－2b)－4(－2a－3b)＝－7a－14b＋8a＋12b＝a－2b.类型2两个向量的夹角[典例2]如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB→与向量BC→的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE→与向量EC→的夹角．解：(1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°，如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则AB→＝BD→，所以∠DBC为向量AB→与向量BC→的夹角．因为∠DBC＝120°，所以向量AB→与向量BC→的夹角为120°.(2)因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，所以向量AE→与向量EC→的夹角为90°.归纳升华两个向量夹角的实质及求解的关键1．实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．2．关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．[变式训练](1)在等边三角形ABC中，向量AB→与向量BC→的夹角为________，若E为BC的中点，则向量AE→与EC→的夹角为________．(2)已知|a|＝|b|，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角为________，a－b与a的夹角为________．解析：(1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.如图，延长AB至点D，使BD＝AB，所以AB→＝BD→，所以∠DBC为向量AB→与BC→的夹角，且∠DBC＝120°.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，所以AE→与EC→的夹角为90°.(2)如图所示，作OA→＝a，OB→＝b，且∠AOB＝60°.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，由题意可知其是菱形，则OC→＝a＋b，BA→＝a－b，又∠AOB＝60°，所以OC→与OA→的夹角为30°，BA→与OA→的夹角为60°，即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.答案：(1)120°90°(2)30°60°类型3平面向量基本定理的综合应用[典例3]设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有OA→＋OB→＋2OC→＝0，则△AOC的面积为()A．2B．1C.12D.13解析：如图所示，以OA，OB为邻边作▱OADB，则OD→＝OA→＋OB→，结合条件OA→＋OB→＋2OC→＝0，知OD→＝－2OC→.设OD交AB于点M，则OD→＝2OM→，所以OM→＝－OC→，故O为CM的中点，所以S△AOC＝12S△CAM＝14S△ABC＝14×4＝1.答案：B归纳升华用向量解决平面几何问题的一般步骤1．选取不共线的两个平面向量作为基底．2．将相关的向量用基底向量表示，将几何问题转化为向量问题．3．利用向量知识进行向量运算，得出向量问题的解．4．再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．[变式训练]如图所示，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若OC→＝λOE→＋μOF→，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．解：在矩形OACB中，OC→＝OA→＋OB→，OC→＝λOE→＋μOF→＝λ(OA→＋AE→)＋μ(OB→＋BF→)＝λOA→＋13OB→＋μOB→＋13OA→＝3λ＋μ3OA→＋3μ＋λ3OB→，所以3λ＋μ3＝1，3μ＋λ3＝1，所以λ＝μ＝34.1．平面向量基本定理．(1)基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量，基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．(3)准确理解平面向量基本定理：①平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的；②平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．2．两个向量的夹角．(1)向量夹角的几何表示．依据向量夹角的定义，两个非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是向量的夹角．(2)注意事项：①向量的夹角是针对非零向量定义的；②向量的夹角与直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和0，π2.