2019秋高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课件 新人教A版必修4

第二章平面向量2．2.3向量数乘运算及其几何意义[学习目标]1.掌握向量数乘运算及其几何意义，掌握向量数乘的运算律(重点)．2.掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线(重点、难点)．3.能运用数乘运算的定义、运算律进行有关计算(重点)．[知识提炼·梳理]1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反．温馨提示当λ＝0或a＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝λμa；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．温馨提示要清楚向量的数乘与数乘数的区别，前者结果是一个向量，后者结果是一个数．2．向量共线的条件向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数λ与向量a的和λ＋a与差λ－a都是向量．()(2)对于非零向量a，向量－6a与向量2a的方向相反．()(3)若ma＝mb(m∈R)，则a＝b.()(4)若b与a共线，则存在实数λ，使得b＝λa.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．设e1，e2是不共线的两个向量，下列四组向量：①a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；②a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2；③a＝2e1－13e2，b＝e1－16e2；④a＝2e1，b＝－3e1.其中a与b共线的组数为()A．1B．2C．3D．4解析：①中b＝－2a；③中a＝2b；④中b＝－32a；②中a与b不存在实数λ，使a＝λb，a与b不共线．答案：C3．设四边形ABCD中，有DC→＝12AB→且|AD→|＝|BC→|，则这个四边形是()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形解析：因为DC→＝12AB→，所以AB∥DC且AB≠DC，所以四边形ABCD是梯形．又|AD→|＝|BC→|，所以四边形ABCD是等腰梯形．答案：C4.点C在线段AB上，且ACCB＝32，则AC→＝______AB→，BC→＝________AB→.解析：因为C在线段AB上，且ACCB＝32，所以AC→与AB→方向相同，BC→与AB→方向相反，且ACAB＝35，BCAB＝25，所以AC→＝35AB→，BC→＝－25AB→.答案：35－255．已知非零向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．解析：由原式可得3x－4y＝6，2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3，所以x－y＝3.答案：3类型1向量的线性运算(自主研析)[典例1]化简：(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)；(2)13(a＋2b)＋14(3a－2b)－12(a－b)；(3)1312（2a＋8b）－（4a－2b）.解：(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝15a－10b＋8b－12a＝3a－2b.(2)13(a＋2b)＋14(3a－2b)－12(a－b)＝13＋34－12a＋23－12＋12b＝712a＋23b.(3)1312（2a＋8b）－（4a－2b）＝13(a＋4b－4a＋2b)＝13(－3a＋6b)＝－a＋2b.归纳升华向量线性运算的基本方法1．类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．2．方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律简化运算．[变式训练]计算下列各式：(1)4(a＋b)－3(a－b)；(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；(3)25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b)．解：(1)原式＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.(2)原式＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c.(3)原式＝25a－25b－23a－43b＋415a＋2615b＝25－23＋415a＋－25－43＋2615b＝0a＋0b＝0＋0＝0.类型2向量共线定理的应用(互动探究)[典例2]已知非零向量e1、e2不共线．(1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．(1)证明：因为AB→＝e1＋e2，BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB→.所以AB→，BD→共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．(2)解：因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k－λ＝0，λk－1＝0，所以k＝±1.[迁移探究](变换条件)在典例2中，若将非零不共线向量e1，e2改为共线向量e1，e2，在(1)题中其他条件不变，试判断A、B、D三点是否共线．解：若e1、e2是共线向量，则存在一个实数λ，使得e1＝λe2(e2≠0)．所以AB→＝e1＋e2＝(λ＋1)e2.BD→＝BC→＋CD→＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)＝5(λ＋1)e2，则BD→＝5AB→，所以AB→，BD→共线，且有公共点B.故A、B、D三点共线．归纳升华1．向量共线定理，即b与a(a≠0)共线⇔b＝λa，既可以用来证明点共线或线共线问题，也可以用来根据共线求参数的值．2．向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．类型3用已知向量表示其他向量[典例3]如图所示，四边形OADB是平行四边形，OA→＝a，OB→＝b，又BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，试用a、b表示OM→、ON→、MN→.解：因为BA→＝OA→－OB→＝a－b，所以BM→＝13BC→＝16BA→＝16(a－b)，所以OM→＝OB→＋BM→＝b＋16(a－b)＝b＋16a－16b＝16a＋56b.又由OD→＝OA→＋OB→＝a＋b，得ON→＝12OD→＋16OD→＝23OD→＝23a＋23b.所以MN→＝ON→－OM→＝23a＋23b－16a＋56b＝12a－16b.归纳升华用直接法求解未知向量的步骤[变式训练]如图，在△OBC中，点A是BC的中点，点D是将向量OB→分为2∶1的一个分点，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用向量a，b表示OC→，DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．解：(1)因为OA→＝12(OB→＋OC→)，所以OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，DC→＝OC→－OD→＝OC→－23OB→＝2a－53b.(2)由于D，E，C三点共线，设DE→＝mDC→，则DE→＝2ma－53mb.①在△ODE中，DE→＝OE→－OD→＝λOA→－23OB→＝λa－23b.②由①②得2ma－53mb＝λa－23b，所以2m＝λ，－53m＝－23，解得m＝25，λ＝45.1．向量的数乘运算．(1)数乘向量的结果仍是一个向量．(2)实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a无法运算．(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0，这时就不必讨论方向了；当λ＝－1时，(－1)a＝－a就是a的相反向量．(4)λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍，向量a|a|表示与向量a同向的单位向量．2．向量共线定理．(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b＝λa.(2)定理中，之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不唯一，定理的正反两个方面均不成立．(3)若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题.