2019秋高中数学 第二章 基本初等函数章末整合提升课件 新人教A版必修1

数学必修①·人教A版第二章基本初等函数(Ⅰ)章末整合提升1知识结构2要点归纳3专题突破4课时作业学案知识结构要点归纳•1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．•2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图象特点．•3．应用指数函数y＝ax和对数函数y＝logax的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a1和0a1两种情况的讨论．•4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．•5．理解幂函数的概念、图象和性质．•在理解幂函数的概念、图象和性质时，要对幂指数α分两种情况进行讨论，即分α0和α0两种情况．•6．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．•7．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．•8．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．专题突破专题一⇨指数、对数的运算•指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂；其次若出现分式，一要注意分母与负指数的关系；二要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．计算下列各式的值：(1)(23)－2＋(1－2)0－(338)23；(2)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg23)2＋lg16＋lg0.06；(3)2log32－log3329＋log38－3log35；(4)64－13－(－322)0＋[(－2)－3]43＋16－0.75.典例1[解析](1)原式＝(32)2＋1－(278)23＝94＋1－[(32)3]23＝94＋1－(32)2＝94＋1－94＝1.(2)原式＝lg5·(3lg2＋3)＋(3lg2)2－lg6＋lg6100＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－lg6＋lg6－2＝3lg2·(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝3－2＝1.(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋log38－5＝2log32－5log32＋2＋3log32－5＝2－5＝－3.(4)原式＝(43)－13－1＋(－2－3)43＋(24)－34＝4－1－1＋2－4＋2－3＝14－1＋116＋18＝－916.•『规律方法』指数与对数的运算是指数、对数应用的前提，也是研究指数函数与对数函数的基础，不仅是本章考查重点，也是高考的重要考点之一．•进行指数式的运算时，要注意运算或化简的先后顺序，一般应将负指数转化为正指数、将根式转化为指数式后再计算或化简，同时注意幂的运算性质的应用；对数运算要注意对数运算性质的正用与逆用，注意对底数的转化，对数恒等式以及换底公式的灵活运用，还要注意对数运算与指数运算之间的关系及其合理地转化．专题二⇨指数(对数)函数的典型问题及其求解策略•指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)的性质及图象对比．•(1)两者具有相同的单调性，a1时单调递增，0a1时，单调递减；•(2)都过定点，y＝ax过定点(0,1)，y＝logax过定点(1,0)；•(3)两者互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，若点P(a，b)在函数f(x)的图象上，则P′(b，a)在其反函数的图象上；•(4)y＝ax的图象在x轴上方，y＝logax的图象在y轴右侧．•(5)两者值的变化规律类似：y＝ax，由a1(0a1)与x0(x0)分类，“同大异小”，都取“”号．即a1与x0(或都取“”号)时，y1；一个取“”号，一个取“”号时，例如0a1，x0，则0y1.y＝logax，由a1(0a1)与x1(0x1)分类，“同正异负”．都取“”．即a1与x1(或都取“”)号时，y0；一个取“”号，另一个取“”号时，例如a1,0x1，则y0；•(6)图象随a的位置分布规律．y＝ax在第一象限内，逆时针方向，a逐渐变大，y＝logax在第一象限内，逆时针方向，a逐渐变小．典例31．求定义域(2019·山东潍坊高一期末测试)函数f(x)＝lnx＋1x－2的定义域是()A．(－1，＋∞)B．(－1,2)∪(2，＋∞)C．(－1,2)D．[－1,2)∪(2，＋∞)B[解析]要使函数有意义，应满足x＋10x－2≠0，∴x－1且x≠2，故函数f(x)的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．•『规律方法』注意对数函数的真数必须大于0，这在求定义域问题时很容易遗漏，同时，函数定义域要写成集合或者区间的形式．典例32．比较大小(1)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－12，则()A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x(2)设a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，则()A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜aDC[解析](1)依题意，x＝lnπ＞lne＝1，y＝log52＜log55＝12，1＝e0＞z＝e－12＞4－12＝12，于是有y＜z＜x，选D．(2)∵a＝log32＝1log23，b＝ln2＝1log2e，而3＞e且y＝log2x为增函数，所以a＜b，又c＝5－12＝15，而5＞2＝log24＞log23，∴c＜a，综上所述c＜a＜b.•『规律方法』(1)有关比较大小的问题，通常需要结合所给的数的特点，结合相关函数的性质，通过寻找合适的中间数，确定其大小关系．(2)通常解决此类问题的关键是先化为统一类型的形式(比如都为同底的)，然后再根据函数的单调性比较，特殊情况还要和1或0比较．典例43．图象问题(1)对a(a0，a≠1)取不同的值，函数y＝loga2x＋1x－1的图象恒过定点P，则P的坐标为()A．(1,0)B．(－2,0)C．(2,0)D．(－1,0)(2)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是()BB[解析](1)由2x＋1x－1＝1得，x＝－2，∴定点坐标为(－2,0)．(2)由lga＋lgb＝0，得ab＝1，∴g(x)＝－logbx＝log1bx＝logax.故选B．典例54．复合函数的单调性函数f(x)＝log13(3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．[解析]令t＝3x2－ax＋7，则y＝log13t单调递减，故t＝3x2－ax＋7在[－1，＋∞)上单调递增且t0.因为t＝3x2－ax＋7的对称轴为x＝a6，所以a6≤－110＋a0，解得－10a≤－6，故a的取值范围为(－10，－6]．•『规律方法』1.两类对数不等式的解法•(1)形如logaf(x)logag(x)的不等式．•①当0a1时，可转化为f(x)g(x)0；•②当a1时，可转化为0f(x)g(x)．•(2)形如logaf(x)b的不等式可变形为logaf(x)logaab.•①当0a1时，可转化为f(x)ab；•②当a1时，可转化为0f(x)ab.•2．形如y＝logaf(x)的函数的单调性•首先要确保f(x)0，•当a1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．•当0a1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)0的前提下与y＝f(x)的单调性相反．专题三⇨思想方法总结•1．数形结合思想•数形结合思想的基本思路：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，或将图形信息转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的问题讨论．•(2019·北京丰台区高一期末测试)已知等式log2m＝log3n(m0，n0)成立，那么下列结论：•①m＝n；②nm1；③mn1；④1nm；⑤1mn；⑥n1m.其中不可能成立的个数为()•A．2B．3•C．4D．5典例6B•[解析]作出函数y＝log2x(x0)和y＝log2x(x0)的图象如图所示．•由图象可知，当m＝n＝1时，log2m＝log3m成立；当1mn时，log2m＝log3m成立；当0nm1时，log2m＝log3m成立，故③④⑥不可能成立．•2．分类讨论思想•分类讨论问题的实质是将整体问题化为部分来解决，从而增加题设条件，这也是解分类讨论问题的指导思想．当问题中含有参数或问题是分类给出的，常常需要分类讨论．•由于指数函数和对数函数的底数a影响了函数的单调性，因此涉及求单调区间、解不等式、求最值等问题时，常按“a1”与“0a1”进行分类讨论．典例7已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，f(12)＝0，求不等式f(logax)0(a0，且a≠1)的解集．•[分析]本题考查函数性质的综合应用，利用奇偶性和单调性分析，对a进行讨论，求出解集．[解析]∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，f(－12)＝0.故若f(logax)0，则有logax12，或logax－12.(1)当a1时，由logax12，或logax－12，得xa，或0xaa；(2)当0a1时，由logax12，或logax－12，得0xa，或xaa.综上可知，当a1时，f(logax)0的解集为(0，aa)∪(a，＋∞)；当0a1时，f(logax)0的解集为(0，a)∪(aa，＋∞)．•3．转化与化归思想•转化思想是在处理问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答，转化与化归思想的原则：化繁为简，化难为易，化生为熟．•设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实根个数．典例8[分析]本题考查讨论方程的实根的个数，可转化为求函数图象的交点．原方程等价于1＜x＜3x＜ax－13－x＝a－x.方程(x－1)(3－x)＝a－x的解满足1＜x＜3，必满足x＜a；反之若满足x＜a，则必满足1＜x＜3.于是问题转化为在x∈(1,3)条件下解方程(x－1)(3－x)＝a－x.[解析]原方程等价于x－1＞03－x＞0a－x＞0x－13－x＝a－x⇒1＜x＜3x＜a－x2＋5x－3＝a.在同一坐标系中分别作函数y＝a及y＝－x2＋5x－3，x∈(1,3)的图象，如图所示．当x＝1时，y＝1；当x＝3时，y＝3；当x＝52时，ymax＝134，由图象可知，(1)当a＞134或a≤1时，函数图象无交点，原方程无实数解；(2)当a＝134或1＜a≤3时，函数图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3＜a＜134时，函数图象有两个交点，故原方程有两个实数根．•『规律方法』将求方程解的问题转化为求对应函数图象交点问题，这种思想方法非常重要，尤其是方程等号两边为不同特征的函数时常用此法来