2019秋高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）章末复习课课件 新人教A版必修1

第二章基本初等函数（Ⅰ）章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．正确理解指数式与对数式的运算(1)正确理解根式na的意义，极易因对根式na的理解不透而得出错误结果．(2)注意amn＝na和a－mn＝1amn＝1nam的正确转化．(3)对数式的运算要按照对数运算法则和换底公式进行，避免错误应用对数运算法则．2．正确认识基本初等函数(1)指数函数y＝ax(a0，且a≠1)和幂函数y＝xα极易混淆，要区分自变量x所处的位置；对数函数y＝logax(a0且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，要明确它们的定义域与值域是互换的．(2)坚持定义域优先原则，在研究基本初等函数的性质时，要首先考虑定义域，否则极易出错.3．重视基本初等函数单调性的应用(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的单调性与底数a有直接关系，在解有关不等式或求最大(小)值时，极易因忽视对底数的讨论而出错．(2)与指数函数和对数函数有关的复合函数的单调性问题要按照复合函数的单调性规则进行判断，同时要注意在定义域之内进行．(3)幂函数y＝xα的单调性与指数α有关，牢记α＝1，2，3，12，－1五种函数的图象和性质．专题一指数式、对数式的运算指数与对数的运算应遵循的原则．(1)指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分母进行因式分解，以达到约分的目的．(2)对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般遵循真数化简的原则．[例1](1)计算：log222＝_____，2log23＋log43＝______．(2)化简：8a－56·ab－14·3a2b34－13＝________．解析：(1)log222＝log22－12＝－12，2log23＋log43＝2log23×2log43＝3×3＝33.(2)原式＝8a－56·a53－13＝(8a－56a56)－13＝8－13＝(23)－13＝12.答案：(1)－1233(2)12归纳升华1．对于根式的运算结果，不强求形式的统一，但结果绝不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．2．指、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据幂、对数的运算法则及性质加以解决，在运用法则时要注意法则的逆用．在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化，因此要熟练把握这些运算性质的基本特征：(1)同底；(2)“和积”互化．[变式训练](1)lg52＋2lg2－12－1＝________．(2)化简：（a23b－1）－12a－12b136ab5＝________．解析：(1)原式＝lg52＋lg4－2＝－1.(2)原式＝a－13b12a－12b13a16b56＝a－56b56a16b56＝a－1＝1a.答案：(1)－1(2)1a专题二基本初等函数的图象指数函数、对数函数、幂函数图象的应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”，此类题目往往是选择题，常借助指数函数、对数函数、幂函数的图象特征来解决；二是判断方程的根的个数，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象的交点个数．[例2](1)若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是()(2)方程log2(x＋2)＝－x的实数解有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：(1)由函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象可知，a＝3，所以，y＝3－x，y＝(－x)3＝－x3及y＝log3(－x)这三个函数均为减函数，只有y＝x3是增函数．(2)令y1＝log2(x＋2)，y2＝－x，分别画出这两个函数的图象，如图所示．函数y1＝log2(x＋2)的图象是由函数y1＝log2x的图象向左平移2个单位长度得到的．函数y2＝－x的图象是由幂函数y＝x12的图象关于y轴对称得到的．由图象可知，y1与y2的图象有一个交点．答案：(1)B(2)B归纳升华识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性，函数图象的变化趋势；(2)奇偶性，函数图象的对称性；(3)特殊点对应的函数值．[变式训练](1)已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a0，且a≠1)，若f(3)·g(3)0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是图中的()(2)如图所示，方程logx(y＋1)－logx2＝1对应的图形是()解析：(1)因为f(x)＝ax与g(x)＝logax(a0，且a≠1)互为反函数，于是排除A，D，对于B，C中，两图象均关于y＝x对称，又f(3)·g(3)0，排除选项B.(2)由logx(y＋1)－logx2＝1得y＝2x－1(x0且x≠1，y－1)，所以图象是直线y＝2x－1的一部分，结合图形知选项C正确．答案：(1)C(2)C专题三比较函数值大小比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数，再将正数与1比，分出大于1还是小于1，然后在各类中两两相比较．[例3](1)(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．cbaD．cab(2)1312与1213的大小关系是______________．解析：(1)c＝log1213＝log23log2e＝a，即ca.又b＝ln2＝1log2e1log2e＝a，即ab.所以cab.(2)因为yx12在[0，＋∞)上是增函数，又1312，所以13121212，又因为y＝12x在R上是减函数，1312，所以12121213，即13121213.答案：(1)D(2)13121213归纳升华比较函数值大小的一般步骤和方法1．一般步骤：先根据函数值的特征选择适当的函数，再根据所选函数的单调性，确定两个函数值的大小．2．当两个函数值不能直接比较时，常选择两个对应函数，再进行比较．3．必要时，可先将函数值与特殊数0和1进行比较，最后确定它们的大小关系．[变式训练](1)(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x＜3y＜5zB．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2xD．3y＜2x＜5z(2)已知a＝log372，b＝1413，c＝log1315，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．cbaD．cab解析：(1)令t＝2x＝3y＝5z，因为x，y，z为正数，所以t＞1.则x＝log2t＝lgtlg2，同理，y＝lgtlg3，z＝lgtlg5.所以2x－3y＝2lgtlg2－3lgtlg3＝lgt（2lg3－3lg2）lg2×lg3＝lgt（lg9－lg8）lg2×lg3＞0，所以2x＞3y.又因为2x－5z＝2lgtlg2－5lgtlg5＝lgt（2lg5－5lg2）lg2×lg5＝lgt（lg25－lg32）lg2×lg5＜0，所以2x＜5z，所以3y＜2x＜5z.(2)因为c＝log1315＝log35，a＝log372，又y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log35log372log33＝1，所以ca1.因为y＝14x在(－∞，＋∞)上是减函数，所以1413140＝1，即b1.所以cab.答案：(1)D(2)D专题四基本初等函数的奇偶性与单调性问题(1)指数函数y＝ax(a0，a≠1)，对数函数y＝logax(a0，a≠1，x0)的图象和性质都与a的取值有密切的关系．a变化时，函数的图象和性质也随之改变．(2)指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1，x0)具有相同的单调性．[例4](1)若函数f(x)＝loga(x＋x2＋2a2)是奇函数，则a＝________．(2)已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，且2f(x)－ex－m≥0在x∈[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：(1)方法一由函数f(x)在x＝0时有定义，且函数f(x)为奇函数，知f(0)＝0，解得a＝±22.又a0，且a≠1，故a＝22.方法二因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，可解得a＝22.(2)由f(x)＋g(x)＝ex，①可知f(－x)＋g(－x)＝e－x，即f(x)－g(x)＝e－x，②由①②解得f(x)＝ex＋e－x2.2f(x)－ex－m≥0在x∈[1，2]上恒成立，即m≤2f(x)－ex＝e－x在x∈[1，2]上恒成立．又函数y＝e－x在[1，2]上为减函数，所以ymin＝e－2，所以m≤e－2，即实数m的取值范围为(－∞，e－2]．答案：(1)22(2)(－∞，e－2]归纳升华1．基本初等函数单调性的判断与应用．(1)对于指数函数和对数函数，注意底数a对函数单调性的影响，对于幂函数y＝xα，注意指数α对函数单调性的影响．(2)根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集．2．基本初等函数的奇偶性问题：在利用奇偶性定义进行推导判断时，要注意指数、对数运算法则的正确使用．[变式训练](1)已知函数f(x)＝loga(x2＋1＋x)＋1(a0，且a≠1)，若f(log3b)＝5(b0，且b≠1)，则flog13b的值是()A．3B．－3C．5D．－2(2)若f(x)＝3x，x∈[－1，0），－13x，x∈[0，1]，则f(f(log32))的值为()A.33B．－33C．－12D．－2解析：(1)因为f(－x)＝loga(x2＋1－x)＋1，所以f(x)＋f(－x)＝loga(x2＋1＋x)＋1＋loga(x2＋1－x)＋1＝loga[(x2＋1－x)·(x2＋1＋x)]＋2＝2，所以f(log3b)＋f(log13b)＝f(log3b)＋f(－log3b)＝2，因为f(log3b)＝5，所以f(log13b)＝－3.(2)因为f(log32)＝－13log32＝－12，所以f(f(log32))＝f－12＝3－12＝33.答案：(1)B(2)A专题五分类讨论思想分类讨论思想贯穿于中学数学的始终，是数学中的重要思想方法之一，也是学习中的难点所在．因此解题过程中需要我们辩证地对待分类讨论这一思想方法，做到尽可能地简化或回避分类讨论．[例5]已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，f12＝0.求不等式f(logax)0(a0，且a≠1)的解集．解：因为f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，又f12＝0，所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，f－12＝0.故若f(logax)0，则有logax12或logax－12.(1)当a1时，由logax12或logax－12，得xa或0xaa.(2)当0a1时，由logax12或logax－12，得0xa或xaa.综上可知，当a1时，不等式f(logax)0的解集为0，aa∪(a，＋∞)；当0a1时，不等式f(logax)0的解集为(0，a)∪aa，＋∞.归纳升华分类讨论思想在指数函数和对数函数中的应用1．理论依据：底数大于1时，指数函数与对数函数均是增函数；底数大于0小于1时，指数函数与对数函数均是减函数．2．方法步骤：[变式训练]已知函数y＝ax2－3x＋3在x∈[1，3]时有最小值18，求a的值．解：令t＝x2－3x＋3＝x－322＋34，当x∈[1，3]时，t∈34，3.①当a