2019秋高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1.2 指数函数及其性质 第2课时 指数函数及其性

第二章基本初等函数（Ⅰ）第2课时指数函数及其性质的应用[学习目标]1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小(重点)．2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题(重点、难点)．[知识提炼·梳理]指数函数y＝ax(a0且a≠1)单调性的应用(1)a的取值与单调性．若0a1，x1x2，则ax1ax2；若a1，x1x2，则ax1ax2.(2)指数不等式的解法．对形如af(x)ag(x)的不等式的讨论：当0a1时，af(x)ag(x)⇔f(x)g(x)；当a1时，af(x)ag(x)⇔f(x)g(x)．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当a1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0a1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．()(2)函数y＝a2x－1(a0且a≠1)的定义域是(0，＋∞)．()(3)已知函数f(x)＝52x，若实数m，n满足f(m)f(n)，则mn.()解析：(1)对，由复合函数的单调性的性质知，该结论正确；(2)错，由指数函数的定义知，函数y＝a2x－1(a0且a≠1)的定义域是R；(3)错，因为521，所以f(x)＝52x在(－∞，＋∞)上是增函数，又因为f(m)f(n)，所以mn.答案：(1)√(2)×(3)×2．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝12－1.5，则()A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2解析：y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5.由y＝2x在R上单调递增知，21.44＜21.5＜21.8，即y1＞y3＞y2.答案：D3．函数y＝xax|x|(a1)的大致图象是()解析：y＝xax|x|＝ax，x0，－ax，x0，又a1，可知只有选项C中图象正确．答案：C4．函数y＝3x2－1的定义域是________，值域是________．解析：函数的定义域是R，因为x2－1≥－1，所以y＝3x2－1值域是13，＋∞.答案：R13，＋∞5．不等式22x－3127的解集是________．解析：不等式变为2x－3－7，得x－2.答案：(－2，＋∞)类型1指数函数单调性的应用(自主研析)角度1比较两数的大小[典例1]比较下列各组数的大小：(1)56－0.24与56－14；(2)1π－π与1；(3)(0.8)－2与54－12.解：(1)因为0561，所以函数y＝56x在(－∞，＋∞)上是减函数．又－0.24－14，所以56－0.2456－14.(2)因为01π1，所以函数y＝1πx在(－∞，＋∞)上是减函数．又－π0，所以1π－π1π0＝1.(3)方法一因为00.81，所以函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上是减函数．又－20，所以0.8－20.80＝1.因为541，所以函数y＝54x在(－∞，＋∞)上是增函数．又－120，所以54－12540＝1.所以0.8－254－12.方法二(0.8)－2＝45－2＝542.因为函数y＝54x在(－∞，＋∞)上是增函数，而2－12，所以54254－12.所以(0.8)－254－12.归纳升华1.比较两个幂值大小的三种题目类型及处理方法.底数相同，指数不同―→利用指数函数的单调性来判断底数不同，指数相同―→利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断底数不同，指数不同―→通过中间量来比较2．对于三个(或三个以上)的幂的大小比较，应先根据值的大小进行分组，再比较各组数的大小．[变式训练]比较下列各组数的大小：(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－3与0.70.3；(3)1.70.3与0.93.1；(4)0.60.4与0.40.6；(5)4313、223、－233、3412.解：(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π－3，所以1.9－π1.9－3.(2)因为函数y＝0.7x在R上递减，而2－3≈0.2690.3，所以0.72－30.70.3.(3)由指数函数性质可知，1.70.31.70＝1，0.93.10.90＝1，所以1.70.30.93.1.(4)因为y＝0.6x在R上递减，所以0.60.40.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.60.40.6.所以0.60.40.40.6.(5)因为－2330，43131，2231，034121.又在y轴右侧，函数y＝43x的图象在y＝4x的下方，所以4313413＝223，所以－23334124313223.角度2解简单的指数不等式[典例2](1)解不等式12x2－2≤2；(2)已知(a2＋a＋2)x(a2＋a＋2)1－x，求x的取值范围．解：(1)12x2－2＝22－x2，所以原不等式等价于22－x2≤21.因为y＝2x是R上的增函数，所以2－x2≤1，所以x2≥1，即x≤－1或x≥1.所以12x2－2≤2的解集为{x|x≤－1，或x≥1}．(2)因为a2＋a＋2＝a＋122＋741，所以y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数．所以x1－x，解得x12.所以x的取值范围是xx12.归纳升华解指数不等式问题，需注意三点：(1)形如af(x)ag(x)的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；(2)形如af(x)b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如af(x)bg(x)的形式，利用两边取对数求解．[变式训练](1)不等式4x42－3x的解集是________．(2)设0a1，关于x的不等式a2x2－3x＋7a2x2＋2x－3的解集是________________．解：(1)因为4x在R上是增函数，所以x2－3x，即x12，所以不等式的解集是xx12.(2)因为0a1，所以ax在R上是减函数，所以2x2－3x＋72x2＋2x－3，整理得x2，所以不等式的解集是xx2.类型2指数函数的综合应用[典例3]已知f(x)为定义在(－1，1)上的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝2x4x＋1.(1)求f(x)在(－1，1)上的解析式；(2)判断f(x)在区间上的单调性，并证明．解：(1)因为当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x4－x＋1＝－2x4x＋1，又f(0)＝0，所以f(x)＝2x4x＋1，x∈（0，1），0，x＝0，－2x4x＋1，x∈（－1，0）.(2)f(x)在(－1，0)和(0，1)上是单调递减函数．证明如下：设0x1x21，则f(x1)－f(x2)＝2x14x1＋1－2x24x2＋1＝（2x1＋x2－1）（2x2－2x1）（4x1＋1）（4x2＋1）.因为2x1＋x21，2x22x1，所以f(x1)－f(x2)0，所以f(x)在(0，1)上是减函数．由奇函数的性质知f(x)在(－1，0)上也是减函数．所以f(x)在(－1，0)和(0，1)上是单调递减函数．归纳升华指数型函数的奇偶性和单调性的判断方法如下：(1)奇偶性按照函数奇偶性定义进行判断，注意定义域优先原则，判断过程中，要进行必要的指数幂运算；(2)单调性按照函数单调性定义进行判断，先确定单调区间，作差变形后再用函数y＝ax(a0且a≠1)的单调性进行符号的判断．[变式训练]已知函数f(x)＝a－12x＋1(x∈R)．(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1，5]上的最小值．(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1x2，则f(x1)－f(x2)＝a－12x1＋1－a＋12x2＋1＝2x1－2x2（1＋2x1）（1＋2x2）.因为x1x2，所以2x1－2x20，又(1＋2x1)(1＋2x2)0，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上总为增函数．(2)解：因为f(x)在x∈R上为奇函数，所以f(0)＝0，即a－120＋1＝0，解得a＝12.所以f(x)＝12－12x＋1，由(1)知f(x)为增函数，所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1)，因为f(1)＝12－13＝16，所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为16.类型3指数函数的实际应用[典例4]为了预防流感，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝116t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)的函数关系式为________．(2)经测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：(1)图中可以看出：当t＝0.1时，y＝1，即可求得方程1160.1－a＝1中的a＝0.1，所以y＝116t－0.1.(2)由题设y≤0.25，则116t－0.1≤0.25，即142t－0.2≤14，故2t≥1.2，所以t≥0.6，因此从药物释放开始至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．答案：(1)y＝116t－0.1(2)0.6归纳升华解决指数函数应用题的步骤1．审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．2．建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．3．解模：运用数学知识解决问题．4．回归：还原为实际问题，归纳得出结论．[变式训练]已知镭经过1百年后的质量为原来的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后的质量为y克(其中x∈N*)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1000年后镭的质量(精确到0.001克)．解：依题意，镭原来的质量为20克；100年后镭的质量为20×95.76%克；200年后镭的质量为20×(95.76%)2克；300年后镭的质量为20×(95.76%)3克；……x百年后镭的质量为20×(95.76%)x克．y与x之间的函数关系式为y＝20×(95.76%)x(x∈N*)，经过1000年后镭的质量约为12.968克．1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如axay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0a1和a1两种情况进行讨论．(2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．