2019秋高中数学 第二章 基本初等函数 2.1.1 指数与指数幂的运算（第1课时）根式课件 新人教

数学必修①·人教A版第二章基本初等函数(Ⅰ)•1972年先后在湖南省长沙市郊的马王堆乡挖掘出土三座汉墓．时逾2100多年，墓葬主人完好无损，这是防腐学上的奇迹，震惊世界。判断出古墓年代的最直接的方法可以用14C标定法，14C是放射性元素，半衰期5730年．墓葬主人和一些随葬物品由于没有了生物呼吸作用，14C不再产生，且原有的14C会自动衰减，根据古墓中随葬物品的14C含量就可以知道这些东西与世隔绝了多少年，从而判断出古墓的年代．•画里话外：解决该问题要用到本章指数函数和对数函数的相关知识，除此之外，你是否还想知道以下有趣的问题：地震震级是如何确定的？指数函数与对数函数有什么联系？让我们带着这些问题走进本章的学习……2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算第一课时根式1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案关于根号的故事，最有价值和意义的当属2的发现，它导致了第一次数学危机，并促使了逻辑学和几何学的发展．公元前五世纪，古希腊有一个数学学派，名叫毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯学派提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石．而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰．对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示．希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生．小小2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风暴．史称“第一次数学危机”．希帕索斯也因发现了根号2，撼动了学派的基石而被扔进大海．•1．n次方根定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的____________，其中n＞1，且n∈N*a＞0x＞0n是奇数a＜0x＜0x仅有一个值，记为naa＞0x有两个值，且互为相反数，记为±na个数n是偶数a＜0x不存在n次方根[归纳总结](1)任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．(2)n0＝0(n＞1，且n∈N*)．2．根式(1)定义：式子______叫做根式，这里n叫做__________，a叫做____________.(2)性质：(n＞1，且n∈N*)①(na)n＝a.②nan＝a，n为奇数，|a|，n为偶数.na根指数被开方数1．3－8等于()A．2B．－2C．±2D．－8B[解析]3－8＝3－23＝－2.2．下列各式正确的是()A．(3a)3＝aB．(47)4＝－7C．(5a)5＝|a|D．6a6＝aA[解析](3a)3＝a，(47)4＝7，(5a)5＝a，6a6＝|a|＝aa≥0－aa0，故选A．•3．以下说法正确的是()•A．正数的n次方根是正数•B．负数的n次方根是负数•C．0的n次方根是0(其中n1且n∈N*)•D．负数没有n次方根•[解析]对于A，正数的偶次方根中有负数，∴A错误；•对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，•∴B错误；•对于C，当n1且n∈N*时，0的n次方根是0，•∴C正确；•对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数，∴D错误．C4．若66－x有意义，则实数x的取值范围为______________.(－∞，6][解析]要使式子66－x有意义，应满足6－x≥0，∴x≤6.互动探究学案(1)16的平方根为_______，－27的5次方根为__________；(2)已知x7＝6，则x＝______；(3)若4x－2有意义，则实数x的取值范围是______________.命题方向1⇨n次方根的概念±4典例1•[思路分析]解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．5－2776[2，＋∞)[解析](1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.(2)∵x7＝6，∴x＝76.(3)要使4x－2有意义，则需x－2≥0,即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．『规律方法』(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．•〔跟踪练习1〕•计算下列各值：•(1)27的立方根是_____；•(2)256的4次算术方根是_____；•(3)32的5次方根是_____.•[解析](1)∵33＝27，•∴27的立方根是3.•(2)∵(±4)4＝256，•∴256的4次算术方根为4.•(3)∵25＝32，•∴32的5次方根为2.342计算下列各式的值：(1)5－25；(2)6π－46；(3)4x＋24；(4)7x－77.命题方向2⇨利用根式的性质化简或求值典例2[思路分析]由题目可获得以下主要信息：①所给形式均为nan的形式；②nan形式中n分为奇数和偶数两种．解答本题可依据根式的性质nan＝|a|n为大于1的偶数an为大于1的奇数，完成化简．[解析](1)5－25＝－2.(2)6π－46＝64－π6＝4－π.(3)4x＋24＝|x＋2|＝x＋2x≥－2－x－2x－2.(4)7x－77＝x－7.『规律方法』1.根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．对nan与(na)n的进一步认识(1)对(na)n的理解：当n为大于1的奇数时，(na)n对任意a∈R都有意义，且(na)n＝a，当n为大于1的偶数时，(na)n只有当a≥0时才有意义，且(na)n＝a(a≥0)．(2)对nan的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，nan＝|a|＝aa≥0－aa＜0.(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．〔跟踪练习2〕(1)计算下列各式：①5－a5＝________；②63－π6＝_________；③614－3338－30.125＝______.(2)化简下列各式：①4x－24；②5x－π5.－aπ－312[解析](1)①5－a5＝－a.②63－π6＝6π－36＝π－3.③614－3338－30.125＝522－3323－3123＝52－32－12＝12.(2)①4x－24＝|x－2|＝x－2x≥2－x＋2x2.②5x－π5＝x－π.若代数式2x－1＋2－x有意义，化简4x2－4x＋1＋24x－24.命题方向3⇨有限制条件的根式化简•[思路分析]先借助代数式有意义确定出x的取值范围，再进行根式的化简．典例3[解析]由2x－1＋2－x有意义，得2x－1≥02－x≥0，故4x2－4x＋1＋24x－24＝2x－12＋24x－24＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.•『规律方法』有限制条件的根式化简的步骤〔跟踪练习3〕化简下列各式：(1)x2－2x＋1－x2＋6x＋9(－3x3)；(2)(a－1)2＋1－2a＋a2＋31－a3.[解析](1)原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|.∵－3x3，∴当－3x1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝－2x－2－3x1－41≤x3.(2)由a－1知a－1≥0，∴原式＝a－1＋a－12＋1－a＝a－1.已知a，b∈R，下列各式总能成立的有______.①(6a－6b)6＝a－b；②na2＋b2n＝a2＋b2；③4a4－4b4＝a－b；④10a＋b10＝a＋b.•[错解]②③④•由题意，得①显然不成立，②③④都成立．②典例4没有正确理解nan＝a成立的条件[错因分析]该解法中忽略了nan＝a成立的条件是只有当n为奇数，或者当n为偶数且a0时才成立．[思路分析]要解决此类化简、求值题，关键是正确理解nan＝a成立的条件．[正解]①显然不对，②中∵a2＋b2≥0，②一定成立；③和④中，∵a，b∈R，∴4a4＝|a|，4b4＝|b|，10a＋b10＝|a＋b|，因此③④都错．配方法与平方法的应用•具备二次三项式形式的数学表达式，常采用配方法探求解题思路；含根号的数学表达式，常用平方法求解，平方前注意考虑表达式的符号．计算5－26＋5＋26.典例5[分析]注意a＋2b的配方或整体考虑运用方程思想．[解析]解法一：原式＝2－32＋2＋32＝3－2＋3＋2＝23.解法二：设x＝5－26＋5＋26，则x0.平方得x2＝(5－26)＋(5＋26)＋25＋265－26，即x2＝12，∵x0，∴x＝23.∴原式＝23.『规律方法』对形如a±2b的复合根式，在有些情况下是可能得到化简的，但并非所有的这种类型都能化简，只要掌握其中较简单的基本类型即可．将复合根式先化为a±2b(a0，b0)的形式．若有x1＋x2＝a，x1·x2＝b，其中x10，x20，x1x2，则复合根式可写为x12±2x1·x2＋x22＝x1±x22＝x1±x2，也即若方程x2－ax＋b＝0有两个正的有理根，则复合根式a±2b可化简．•1．下列运算中计算结果正确的是()•A．a4·a3＝a12B．a6÷a3＝a2•C．(a3)2＝a5D．a3·b3＝(a·b)3•[解析]a4·a3＝a7，故A错；a6÷a3＝a3，故B错；(a3)2＝a6，故C错；a3·a3＝a6，故D正确．D2．下列式子中正确的是()A．6－32＝3－3B．4a4＝aC．622＝32D．a0＝1C[解析]6－32＝632＝33，4a4＝|a|，a0＝1(a≠0)，故A、B、D错误，选C．3．若2＜a＜3，化简2－a2＋43－a4的结果是()A．5－2aB．2a－5C．1D．－1C•[解析]由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故选C．4．(2019·江苏、苏州市高一期中测试)求值：4－434＝______.43[解析]4－434＝4434＝43.