2019秋高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定课件 新人

第二章点、直线、平面之间的位置关系2．3直线、平面垂直的判定及其性质2．3.1直线与平面垂直的判定[学习目标]1.理解直线与平面垂直的定义(重点)．2.掌握直线与平面垂直的判定定理，会应用直线与平面垂直的判定定理解决问题(重点、难点)．3.了解斜线在平面上射影的概念，掌握斜线与平面所成的角的形成过程，会进行直线和平面所成的角的计算，体会空间问题向平面问题转化的思想(难点、易错点)．[知识提炼·梳理]1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义．如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.(2)直线与平面垂直的判定定理．文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba⊂αb⊂αa∩b＝P⇒l⊥α温馨提示线面垂直的判定定理中，必须强调平面α内的两条直线相交．2．直线与平面所成的角(1)如图所示，一直线PA和一平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫作斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫作斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫作这条直线和这个平面所成的角．(2)一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在平面内或一条直线和平面平行，称它们所成的角是0°的角．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两条直线平行．()(2)如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．()(3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直．()(4)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．()解析：(1)因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，所以(1)不正确．(2)因为此命题条件不具备线面垂直定义的要求，所以(2)正确．(3)因为这无数条直线可能是一组平行直线，所以(3)不正确．(4)因为垂直于三角形两边的直线必垂直于该三角形所在的平面，所以这条直线就垂直于该三角形的第三条边，所以(4)正确．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是()A．1B．2C．3D．6解析：仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．答案：B3．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直解析：若l∥m，由l⊄α，m⊂α，得l∥α，这与已知l⊥α矛盾，所以直线l与m不可能平行．答案：A4．▱ABCD的对角线交点为O，点P在▱ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________．解析：因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又因为AC∩BD＝O，所以PO⊥平面ABCD.答案：垂直5．如图，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角的大小为_______．解析：因为PA⊥平面ABC，所以直线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角的大小为45°.答案：45°类型1线面垂直的定义及判定定理(自主研析)[典例1]下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．解析：当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确；④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．答案：④⑤归纳升华1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，直线与平面斜交时，平面内也有无数条直线与已知直线垂直．2．在直线平面的判定定理中要注意必须是垂直于平面内两相交直线，该直线才垂直于平面．[变式训练](1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是_______．(填序号)解析：(1)因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，所以OA⊥平面OBC.(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．答案：(1)C(2)①③④类型2线面垂直判定定理的应用(互动探究)[典例2]如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.[迁移探究1]若本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA.因为PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.又FH⊂平面PAC，所以BD⊥FH.[迁移探究2]若本例中PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.证明：因为PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以DC⊥PA.又因为ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD.又AG⊂平面PAD，所以AG⊥DC.因为PA＝AD，G是PD的中点，所以AG⊥PD.又DC∩PD＝D，所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG，又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A，所以PC⊥平面AFG.归纳升华1．证明线面垂直的常用方法．(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．2．线线垂直和线面垂直的相互转化．类型3计算直线与平面所成的角[典例3]如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，求：(1)直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)直线A1B与平面BDD1B1所成的角．解：(1)连接AC，因为直线A1A⊥平面ABCD，所以∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角．设A1A＝1，则AC＝2，在Rt△AA1C中，tan∠A1CA＝22.(2)连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1.又BB1∩B1D1＝B1，所以A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.所以∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1B，所以∠A1BO＝30°，即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.归纳升华1．求直线和平面所成的角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．2．在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的某些特征是找射影的依据，比如中心、垂心、重心等一些特殊的点．[变式训练]如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成角的正弦值．解：由题意知，A是M在平面ABC内的射影，所以MA⊥平面ABC.所以MC在平面CAB内的射影为AC.在Rt△BMC中，BM＝5，∠MBC＝60°，所以MC＝BM·sin∠MBC＝5sin60°＝5×32＝532.在Rt△MAB中，MA＝MB2－BA2＝52－42＝3.所以在Rt△MAC中，sin∠MCA＝MAMC＝3532＝235.1．对直线与平面垂直的几点说明：(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．(2)由直线与平面垂直的定义得，如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．这是判断两条直线垂直的一种重要方法．2．线线垂直和线面垂直的相互转化：3．斜线和平面所成的角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角．