2019秋高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法课件 新人教A版选修4-5

第二讲证明不等式的基本方法2．3反证法与放缩法[学习目标]1.理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法(重点)．2．理解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式(难点、易错点)．1．反证法(1)反证法的定义．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．(2)利用反证法证明不等式，一般有下面三个步骤：第一步，做出与所证不等式相反的假设(反设)．第二步，从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果(归谬)．第三步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假设不正确，于是原证不等式成立．温馨提示(1)不要把“假设”写成“设”；(2)必须从否定的结论出发进行推理，即把否定的结论作为推理的条件，否则就不是反证法．2．放缩法把要证的不等式一边适当地放大(或缩小)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：a＋122＋34＞a＋122；将分子或分母放大(或缩小)：1k2＜1k（k－1），1k2＞1k（k＋1），1k＜2k＋k－1，1k＞2k＋k＋1(k∈R，k＞1)等．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)反证法可以把“假设”写成“设”．()(2)当结论的反面有多种可能时，只需列出其中一种情况证明．()(3)利用放缩法证明不等式的关键在于放大(或缩小)要适当．()(4)放缩法放大、缩小的限度是唯一的．()解析：由反证法和放缩法易知(1)，(2)，(4)错误．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数()A．两个都是偶数B．一个是奇数，一个是偶数C．至少一个是偶数D．恰有一个是偶数解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．答案：C3．设x0，y0，A＝x＋y1＋x＋y，B＝x1＋x＋y1＋y，则A，B的大小关系为()A．A＝BB．ABC．A≤BD．AB解析：B＝x1＋x＋y1＋yx1＋x＋y＋y1＋x＋y＝x＋y1＋x＋y＝A，即AB.答案：B4．用反证法证明“2，3，5不可能成等差数列”时，正确的假设是________．答案：2，3，5成等差数列5．A＝1＋12＋13＋…＋1n与n(n∈N＋)的大小关系是______________________．解析：A＝11＋12＋13＋…＋1n≥n项＝nn＝n.答案：A≥n类型1反证法证明不等式(自主研析)[典例1]已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明：假设a，b，c，d都是非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，这与已知的ac＋bd＞1矛盾，所以假设不成立，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．归纳升华1．当待证不等式的结论为否定性命题或含有“至多”“至少”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明．2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则就不是反证法．[变式训练]设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.解：假设4a(1－b)1，4b(1－c)1，4c(1－d)1，4d(1－a)1，则有a(1－b)14，b(1－c)14，c(1－d)14，d(1－a)14.所以a（1－b）12，b（1－c）12，c（1－d）12，d（1－a）12.又因为a（1－b）≤a＋（1－b）2，b（1－c）≤b＋（1－c）2，c（1－d）≤c＋（1－d）2，d（1－a）≤d＋（1－a）2，所以a＋1－b212，b＋1－c212，c＋1－d212，d＋1－a212.将上面各式相加得22，矛盾．所以4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.类型2用放缩法证明不等式[典例2]已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1an＜32.证明：因为当n≥2时，an＝2n2＞2n(n－1)，所以1an＝12n2＜12n（n－1）＝12·1n（n－1）＝121n－1－1n，所以1a1＋1a2＋…＋1an＜1＋1211×2＋12×3＋…＋1n（n－1）＝1＋121－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1＋121－1n＝32－12n＜32，故1a1＋1a2＋…＋1an＜32.归纳升华放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A＜C，后证C＜B.常用的放缩技巧有：(1)舍掉(加进)一些项．(2)在分式中放大(缩小)分子(分母)．(3)应用基本不等式进行放缩．[变式训练]求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n3.证明：由11×2×3×…n11×2×2×…×2＝12n－1(n是大于2的自然数)，得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n1＋1＋12＋122＋123＋…＋12n－1＝1＋1－12n1－12＝3－12n－13.1．常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设．常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是不可能全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上是有或存在不全不都是2.放缩法证明不等式常用的技巧．(1)增项或减项．(2)在分式中增大或减小分子或分母．(3)应用重要不等式放缩，如a2＋b2≥2ab，ab≤a＋b2，ab≤a＋b22，a＋b＋c3≥3abc(a，b，c＞0)．(4)利用函数的单调性等．