2019年秋九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法

第二十一章一元二次方程21.2.2公式法学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程；3．能够理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理．课堂导入用配方法解不同的一元二次方程的过程中，相同之处是配方的过程(程序化的操作)，不同之处是方程的根的情况及具体方程的根，为什么会出现根的不同？方程的根与什么有关？有怎样的关系？如何进一步探究？知识管理1．利用根的判别式判断一元二次方程根的情况根的判别式：式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.判别：当Δ0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．注意：一元二次方程最多有两个实数根．2．用公式法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0求根公式：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当Δ0时，将a，b，c的值代入式子x＝中就能得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．≥－b±b2－4ac2a步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式，确定a，b，c的值，要注意它们的符号．(2)求出Δ＝b2－4ac的值．(3)若Δ≥0，则利用求根公式求出x1，x2；若Δ0，则此方程无实数根．注意：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根由方程的系数a，b，c确定．归类探究类型之一用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程：(1)x2－43x＋10＝0；(2)12x2＋12x＋18＝0；(3)x2＋3＝22x.解：(1)∵a＝1，b＝－43，c＝10，Δ＝b2－4ac＝(－43)2－4×1×10＝80，∴x＝－－43±82×1＝43±222＝23±2，∴x1＝23＋2，x2＝23－2.(2)方程两边同时乘8，得4x2＋4x＋1＝0.∵a＝4，b＝4，c＝1，Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0，∴x＝－4±02×4＝－12，∴x1＝x2＝－12.(2)方程两边同时乘8，得4x2＋4x＋1＝0.∵a＝4，b＝4，c＝1，Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0，∴x＝－4±02×4＝－12，∴x1＝x2＝－12.类型之二利用一元二次方程根的情况，确定系数中字母的取值范围已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m2－1)＝4m＋50，解得m－54.(2)答案不唯一，如当m＝1时，原方程为x2＋3x＝0，即x(x＋3)＝0，解得x1＝0，x2＝－3.【点悟】Δ＝b2－4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，因此已知一元二次方程根的情况，确定系数中字母的取值范围时，不仅要考虑Δ的情况，还一定要注意二次项系数a≠0这个隐含条件．当堂测评1．[2018·铜仁]关于x的一元二次方程x2－4x＋3＝0的解为()A．x1＝－1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝1，x2＝3D．x1＝－1，x2＝－32．下列方程，有两个不相等的实数根的是()A．x2＝3x－8B．x2＋5x＝－10C．7x2－14x＋7＝0D．x2－7x＝－5x＋3CD3．在方程2x2－x－3＝0中，a＝，b＝，c＝，b2－4ac＝，两根是.4．用公式法解方程：2x2－7x＋3＝0.2－1－325x1＝－1，x2＝32解：∵a＝2，b＝－7，c＝3，Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝25，∴x＝－－7±252×2＝7±54，∴x1＝3，x2＝12.分层作业1．用公式法解方程－3x2＋5x－1＝0，正确的是()A．x＝－5±136B．x＝－5±133C．x＝5±136D．x＝5±133C2．[2018·上海]下列对一元二次方程x2＋x－3＝0根的情况的判断，正确的是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根A3．下列方程有两个相等的实数根的是()A．x2＋x＋1＝0B．4x2＋x＋1＝0C．x2＋12x＋36＝0D．x2＋x－2＝04．将方程4y2＝5－y化成一般形式后，知a＝，b＝，c＝，则b2－4ac＝，所以方程的根为.5．方程2x2－3x＋1＝0的解为.C41－581y1＝1，y2＝－54x1＝1，x2＝126．用公式法解下列方程：(1)[2018·绍兴]x2－2x－1＝0；(2)[2018·徐州]2x2－x＋1＝0；(3)2y2＋4y＝y＋2；(4)2x－2＝2x2.解：(1)x1＝1＋2，x2＝1－2.(2)无解．(3)y1＝12，y2＝－2.(4)无解．7．用适当的方法解下列一元二次方程：(1)(3x＋1)2－9＝0；(2)[2018·兰州]3x2－2x－2＝0(用两种不同的方法)；(3)3x2－2＝4x；(4)(y＋2)2＝1＋2y.解：(1)x1＝23，x2＝－43.(2)(方法一)移项，得3x2－2x＝2，配方，得3x－132＝73，解得x1＝1＋73，x2＝1－73.(方法二)∵a＝3，b＝－2，c＝－2，∴Δ＝(－2)2－4×3×(－2)＝4＋24＝28，∴x＝2±272×3.∴x1＝1＋73，x2＝1－73.(3)x1＝2＋103，x2＝2－103.(4)无解．8．[2018·张家界]若关于x的一元二次方程x2－kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k＝.9．[2018·扬州]如果关于x的方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是.±2m13且m≠010．[2017·北京]已知关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于1，求k的取值范围．(1)证明：∵Δ＝[－(k＋3)]2－4(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2)解：由公式法可得x1＝2，x2＝k＋1.∵方程总有一根小于1，∴k＋11，∴k0.