2019年秋九年级数学上册 第二十四章 圆 24.3 正多边形和圆课件 （新版）新人教版

第二十四章圆24.3正多边形和圆学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标使学生经历正多边形的形成过程，了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法．课堂导入我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为15750≈3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.1415926与3.1415927之间，是当时世界上最先进的成就．现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后上万亿位．它是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果．你知道正多边形和圆有什么关系吗？给你一个圆，怎样就能作出一个正多边形？圆中依次出现几段相等的弧？知识管理1．正多边形定义：各相等、各也相等的多边形叫做正多边形．2．正多边形与圆的关系规律：把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形是圆的内接正n边形．边角3．正多边形的有关概念中心：正多边形的外接圆(或内切圆)的叫做正多边形的中心．半径：正多边形的的半径叫做正多边形的半径．中心角：正多边形每一边所对的叫做正多边形的中心角．边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的叫做正多边形的边心距．圆心外接圆圆心角距离4．正多边形的画法原理：由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，因此可以用等分圆心角的方法来等分圆周，画正多边形．方法：等分圆周有两种方法：①用等分；②用等分．量角器圆规归类探究类型之一证明圆内接多边形是正多边形如图24­3­1，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，求证：五边形AEBCD是正五边形．图24­3­1证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°，即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE，∴点A，E，B，C，D是⊙O的五等分点，∴五边形AEBCD是正五边形．【点悟】要证明一个圆的内接多边形是正多边形，只需要证明各边所对的劣弧相等即可．类型之二与正多边形有关的计算已知正六边形的半径为r，求正六边形的边长、边心距和面积．例2答图解：如答图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于点H.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°.∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝r，∴正六边形的边长是r.∴BH＝12BC＝12r，∴OH＝OB2－BH2＝32r，即边心距为32r.∴S正六边形＝6S△OBC＝6×12OH·BC＝332r2.当堂测评1．如图24­3­2，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是()图24­3­2DA．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长D．∠BAC＝30°2．[2018·陕西]如图24­3­3，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为.图24­3­372°3．如图24­3­4是正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝.图24­3­475°分层作业1．如图24­3­5，要拧开一个边长为a＝6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为()C图24­3­5A．62mmB．12mmC．63mmD．43mm2．已知正六边形ABCDEF的边心距为3cm，则正六边形的半径为cm.3．[2018·贵阳]如图24­3­6，点M，N分别是正五边形ABCDE的两边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是.图24­3­6272°4．如图24­3­7，已知⊙O和⊙O上的一点A，请解答下列问题：图24­3­7(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF；(2)连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状，并加以证明．解：(1)如答图(1)，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E，最后连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF即为所求．第4题答图(1)第4题答图(2)(2)四边形BCEF是矩形．证明如下：如答图(2)，连接OE.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，∴四边形BCEF是平行四边形．∵∠EOD＝360°6＝60°，OE＝OD，∴△EOD是等边三角形，∴∠OED＝∠ODE＝60°，∴∠EDC＝∠DEF＝2∠ODE＝120°.∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝30°，∴∠CEF＝∠DEF－∠DEC＝90°，∴四边形BCEF是矩形．5．[2017·达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.22B．32C．2D．3A【解析】如答图(1)，∵OC＝2，∴OD＝1.如答图(2)，∵OB＝2，∴OE＝2.如答图(3)，∵OA＝2，∴OD＝3.则该三角形的三边长分别为1，2，3.∵12＋(2)2＝(3)2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是12×1×2＝22.故选A.6．[2018·宜宾]刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S＝(结果保留根号)．23【解析】如答图．第6题答图根据题意可知OH＝1，∠BOC＝60°，∴△OBC为等边三角形，∴BH＝33.∴S＝12×33×1×12＝23.7．如图24­3­8，已知正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于点O.图24­3­8(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)判断四边形AODE的形状，并说明理由．解：(1)图中的等腰三角形有△ABO，△ABC，△BOC，△DOC，△BCD.(2)四边形AODE是菱形．理由如下：∵AB＝BC，∠ABC＝108°，∴∠BAC＝∠BCA＝12×(180°－108°)＝36°.同理得∠CBD＝∠CDB＝36°.∴∠ABO＝∠ABC－∠CBD＝72°，∠AOB＝180°－∠ABO－∠BAC＝72°.∴∠ABO＝∠AOB，∴AB＝AO.同理得DO＝DC，∴AO＝AE＝ED＝DO，∴四边形AODE是菱形．