2019年秋九年级数学上册 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 第3

第二十四章圆24.2.2第3课时切线长定理和三角形的内切圆学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标1．掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算；2．了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆．课堂导入同学们玩过悠悠球吗？大家在玩悠悠球时是否想到过它在转动过程中还包含着数学知识呢？从中你能抽象出什么样的数学图形(球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成线段)？这些图形的位置关系是怎样的？知识管理1．切线长定义：经过圆外的圆的切线上，这点和切点之间，叫做这点到圆的切线长．定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长，这一点和圆心的连线平分两条切线的．注意：切线长不是切线的长度，而是圆外一点与切点的线段的长度．线段的长相等夹角2．三角形的内切圆、内心的概念三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条的交点．注意：(1)与三角形的外接圆一样，一个三角形有且只有一个内切圆；(2)三角形的内心到三角形三边的距离相等．角平分线归类探究类型之一切线长定理的运用如图24­2­25，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B，点Q为上一点，过点Q作⊙O的切线，分别交PA，PB于E，F两点，已知PA＝12cm，∠P＝56°.求：图24­2­25(1)△PEF的周长；(2)∠EOF的度数．解：(1)∵PA，PB，EF是⊙O的切线，∴PA＝PB，EA＝EQ，FQ＝FB.∴△PEF的周长为PE＋PF＋EQ＋FQ＝PE＋EA＋PF＋FB＝PA＋PB＝24(cm)．(2)∵PA，PB，EF是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，EF⊥OQ，∠AEO＝∠QEO，∠QFO＝∠BFO，∴∠AOE＝∠QOE，∠QOF＝∠BOF，∠AOB＝180°－∠P＝124°，∴∠EOF＝12∠AOB＝62°.类型之二三角形的内切圆如图24­2­26，在△ABC中，内切圆⊙I与AB，BC，CA分别相切于点F，D，E，连接BI，CI，FD，ED.图24­2­26(1)若∠A＝40°，求∠BIC与∠FDE的度数；(2)若∠BIC＝α，∠FDE＝β，试猜想α，β的关系，并直接写出你的结论．解：(1)∵⊙I是△ABC的内切圆，∴∠IBC＝12∠ABC，∠ICB＝12∠ACB，∴∠IBC＋∠ICB＝12(∠ABC＋∠ACB)．∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝140°，∴∠IBC＋∠ICB＝70°，∴∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB)＝110°.例2答图如答图，连接IF，IE.∵⊙I是△ABC的内切圆，∴∠IFA＝∠IEA＝90°.∵∠A＝40°，∴∠FIE＝360°－∠IFA－∠IEA－∠A＝140°，∴∠FDE＝12∠FIE＝70°.(2)α＋β＝180°.当堂测评1．如图24­2­27，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为()A．65°B．130°C．50°D．100°图24­2­27C图24­2­282．[2018·湖州]如图24­2­28，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是.3．边长为1的正三角形的内切圆半径为.70°364．如图24­2­29，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝.图24­2­292分层作业1．[2017·广州]如图24­2­30，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的()A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点B图24­2­302．如图24­2­31，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是()A．60°B．65°C．70°D．75°C图24­2­31图24­2­323．如图24­2­32，PA，PB切⊙O于A，B两点，点C是上一动点，过点C作⊙O的切线交PA于点M，交PB于点N.若∠P＝48°，则∠MON＝()A．60°B．62°C．66°D．无法确定C4．若等腰直角三角形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为()A.2B．22－2C．2－2D．2－2B图24­2­335．如图24­2­33，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝.120°6．如图24­2­34，直尺、三角尺都和⊙O相切，AB＝8cm.求⊙O的直径．图24­2­34解：作出示意图如答图，连接OE，OA，OB.∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是点E，B，∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝12∠BAC.∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，∴∠OAB＝12×120°＝60°，∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16(cm)．由勾股定理，得OB＝OA2－AB2＝83(cm)，即⊙O的半径是83cm，∴⊙O的直径是163cm.第6题答图7．[2018·北京]如图24­2­35，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.(1)求证：OP⊥CD.(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．图24­2­35(1)证明：如答图，连接OC，OD.∵PC，PD分别切⊙O于点C，D，∴PC＝PD.∴点P在线段CD的垂直平分线上．∵OC＝OD，∴点O在线段CD的垂直平分线上．∴OP⊥CD.第7题答图(2)解：如答图，连接AD，BC.∵OA＝OD，∠DAB＝50°，∴∠AOD＝80°.同理，∠BOC＝40°.∴∠COD＝180°－∠AOD－∠BOC＝60°.∵OC＝OD，PD＝PC，OP＝OP，∴△OPC≌△OPD.∴∠POD＝∠POC＝30°.∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥DP.设OP＝x，则DP＝12x.在Rt△OPD中，x2＝12x2＝22，解得x＝433.∴OP＝433.8．如图24­2­36，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm.求：(1)∠BOC的度数；(2)BE＋CG的长；(3)⊙O的半径．图24­2­36第8题答图解：(1)根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°.(2)由(1)知，∠BOC＝90°.∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴BC＝OB2＋OC2＝10(cm)．∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10cm.(3)如答图，连接OF，则OF⊥BC，∴OF＝OB·OCBC＝4.8(cm)．即⊙O的半径为4.8cm.