2019年秋九年级数学上册 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 第2

第二十四章圆24.2.2第2课时切线的判定和性质学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标1．使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质；2．综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力．课堂导入用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然，这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球顺着什么方向飞出去了吗？知识管理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条的直线是圆的切线．方法：(1)切线的定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．半径2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的．总结：(1)切线和圆只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心．半径归类探究类型之一切线的判定如图24­2­13，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G.DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E.求证：直线EF是⊙O的切线．图24­2­13例1答图证明：如答图，连接OD，DC.∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝90°.又∵AC＝BC，∴点D是AB的中点．又∵点O为BC的中点，∴OD∥AC.又∵DF⊥AC，∴OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线．类型之二切线的性质如图24­2­14，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABH.(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．图24­2­14例2答图(1)证明：如答图，连接OD.∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF.又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠OBD＝∠DBH，∴BD平分∠ABH.(2)解：如答图，过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，∴OG＝OB2－BG2＝62－42＝25，即圆心O到BC的距离为25.【点悟】运用切线的性质时，常常连接切点和圆心．类型之三切线的判定与性质的综合运用如图24­2­15，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．图24­2­15证明：如答图，连接OD，过点O作OE⊥AC于点E.∵AB切⊙O于点D，∴OD⊥AB，∴∠ODB＝∠OEC＝90°.∵点O是BC的中点，∴OB＝OC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△OBD≌△OCE，∴OD＝OE，即OE是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切．例3答图【点悟】(1)过圆心作已知直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径是证明直线是圆的切线的方法之一；(2)已知圆的切线，连接切点与圆心作半径是与切线有关的常用辅助线．当堂测评1．下列结论正确的是()A．圆的切线必垂直于半径B．垂直于切线的直线必经过圆心C．垂直于切线的直线必经过切点D．经过圆心与切点的直线必垂直于切线D图24­2­162．[2018·常州]如图24­2­16，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB＝52°，则∠NOA的度数为()A．76°B．56°C．54°D．52°A3．[2018·哈尔滨]如图24­2­17，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝3，则线段BP的长为()图24­2­17A．3B．3C．6D．9A分层作业1．[2018·眉山]如图24­2­18，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于()A．27°B．32°C．36°D．54°A图24­2­182．如图24­2­19，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是()A．∠EAB＝∠CB．∠B＝90°C．EF⊥ACD．AC是⊙O的直径A图24­2­193．[2018·台州]如图24­2­20，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝32°，则∠D＝.图24­2­2026°4．[2018·长沙]如图24­2­21，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝.图24­2­2150°5．[2018·邵阳]如图24­2­22，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.图24­2­22求证：CD为⊙O的切线．证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD.∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线．6．[2017·益阳]如图24­2­23，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．(1)证明：如答图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°.∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠ACO＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴CD是⊙O的切线．(2)解：∵∠OCD＝90°，OC＝3，CD＝4，∴OD＝5，∴BD＝OD－OB＝5－3＝2.7．[2018·沈阳]如图24­2­24，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线，交BE的延长线于点C.(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；(2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O的半径．图24­2­24解：(1)如答图，连接OA.∵AC为⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC.∴∠OAC＝90°.∵∠ADE＝25°，∴∠AOE＝2∠ADE＝50°.∴∠C＝90°－∠AOE＝90°－50°＝40°.第7题答图(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝2∠C.∵∠OAC＝90°，∴∠AOC＋∠C＝90°，即3∠C＝90°，∴∠C＝30°.∵∠OAC＝90°，∴OA＝12OC.设⊙O的半径为r.∵CE＝2，∴r＝12(r＋2)．∴r＝2.∴⊙O的半径为2.