2019年秋九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、 弦 、圆心角

第二十四章圆24.1.3弧、弦、圆心角学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标1．理解圆心角的概念和圆的旋转不变性；2．掌握弧、弦、圆心角的关系定理，并能运用其关系定理解答问题．课堂导入如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？知识管理1．圆的旋转不变性意义：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．对称性：圆既是中心对称图形，又是轴对称图形．它的对称中心是，它的对称轴是或．2．圆心角的概念圆心角：顶点在的角叫做圆心角．圆心过圆心的直线直径所在的直线圆心3．圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等．推广：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．注意：证明圆心角相等、弧相等、弦相等时常用此关系定理，不要忘记前提是在同圆或等圆中．弧弦归类探究类型之一弧、弦、圆心角之间的关系如图24­1­23，AB，BC，AC都是⊙O的弦，且∠AOB＝∠BOC.图24­1­23求证：(1)∠BAC＝∠BCA；(2)∠ABO＝∠CBO.证明：(1)∵∠AOB＝∠BOC，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA.(2)∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO.同理得∠CBO＝∠BCO，∠CAO＝∠ACO.又∵∠BAC＝∠BCA，∴∠BAO＝∠BCO，∴∠ABO＝∠CBO.【点悟】解决圆中有关角相等的问题时，一要注意运用圆的半径都相等这个隐含条件，二要注意利用同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系进行角与角之间的转化．类型之二弧、弦、圆心角之间的关系的运用如图24­1­24，点A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，连接AB，AD，AF.求证：AB＋AF＝AD.图24­1­24例2答图证明：如答图，连接OB，OF.∵点A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，∴AD是⊙O的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°.又∵OA＝OB，OA＝OF，∴△AOB，△AOF是等边三角形，∴AB＝AF＝AO＝OD，∴AB＋AF＝AO＋OD＝AD.【点悟】(1)本题考查了圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质，要注意题目中的隐含条件——半径相等；(2)解答有关圆的问题时，遇到弧相等，常转化为圆心角或它们所对的弦相等．当堂测评1．如图24­1­25，AB是⊙O的直径，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是()A．51°B．56°C．68°D．78°A图24­1­25图24­1­262．如图24­1­26，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝()A．150°B．75°C．60°D．15°B3．如图24­1­27，圆心角∠AOB＝20°，将旋转n°得到，则所对的圆心角是.图24­1­2720°4．如图24­1­28，AB是⊙O的直径，如果∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段OA相等的线段有；与相等的弧有.图24­1­28OC，OD，OB，AC，CD，DB分层作业1．如图24­1­29，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝()A．40°B．45°C．50°D．60°A图24­1­292．已知是同圆的两段弧，且则弦AB与2CD之间的关系为()A．AB＝2CDB．AB2CDC．AB2CDD．不能确定B图24­1­303．如图24­1­30，已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE∥AB，弧CE所对的圆心角的度数为40°，则∠BOC＝.70°4．如图24­1­31，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD.求证：∠AOC＝∠BOD.图24­1­31证明：∵AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD，∴∠AOB－∠BOC＝∠COD－∠BOC，即∠AOC＝∠BOD.5．本市新建一座圆形人工湖，为了测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC长为120m，A到BC的距离为4m，如图24­1­32.请你帮他们求出该湖的半径．图24­1­32解：如答图，设圆心为点O，连接OB，OA，OA交BC于点D.∵AB＝AC，∴OA⊥BC，∴BD＝DC＝12BC＝60(m)．设OB＝xm，则OD＝(x－4)m.在Rt△BDO中，OB2＝OD2＋BD2，即x2＝(x－4)2＋602，解得x＝452.∴人工湖的半径为452m.第5题答图6．如图24­1­33，点A，B，C为⊙O上的三点，且，连接AB，BC，CA.(1)试确定△ABC的形状；(2)若AB＝a，求⊙O的半径．图24­1­33第6题答图解：(1)∵∴AB＝BC＝CA，∴△ABC为等边三角形．(2)如答图，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC，垂足为E.∵∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°.又∵OB＝OC，OE⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝60°，BE＝EC＝12BC＝12AB＝12a，∴∠OBE＝90°－∠BOE＝30°，∴OE＝12OB.由勾股定理，得BE2＋OE2＝OB2，∴12a2＋12OB2＝OB2，解得OB＝33a(负值已舍)，即⊙O的半径为33a.7．如图24­1­34，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上的一动点，⊙O的半径为1，求AP＋BP的最小值．图24­1­34第7题答图解：如答图，作点A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则点A′必在圆上，连接BA′交MN于点P，连接PA，PB，则此时PA＋PB的值最小，此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，连接OA，OA′，OB.∴∠AON＝∠A′ON＝60°.∴∠AOB＝∠BON，∴∠BON＝12∠AON＝30°，∴∠A′OB＝90°，∴A′B＝OA′2＋OB2＝12＋12＝2，即AP＋BP的最小值是2.