2019年秋九年级数学上册 4.4 解直角三角形的应用 第1课时 与俯角、仰角有关的应用问题课件 （

第4章锐角三角函数4.4解直角三角形的应用第1课时与俯角、仰角有关的应用问题学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南★本节学习主要解决下列问题★1．与仰角有关的应用问题此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例1；【分层作业】中的第2,4题．2．与俯角有关的应用问题此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例2；【当堂测评】中的第1,2题；【分层作业】中的第1,2,3题．★课堂导入★小颖的教室在教学楼的二楼，一天，她站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：站在二楼上可以利用解直角三角形测得旗杆的高吗？她望着旗杆顶端和旗杆底部，可以测得视线与水平视线之间的夹角各一个，但是，这两个角怎样命名区别呢？如图，∠CAE，∠DAE在测量中各叫什么角呢？知识管理仰角、俯角的概念仰角：如图4­4­1，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的叫作仰角．俯角：如图4­4­1，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的叫作俯角．图4­4­1上方下方归类探究类型之一与仰角有关的应用问题[2018·锦州]如图4­4­2，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方的点C处还有一名求救者．在消防车上的点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5m，点B距地面10.5m，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？(结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，2≈1.4)图4­4­2解：如答图，作AH⊥CN于点H.在Rt△ABH中，∵∠BAH＝45°，BH＝10.5－2.5＝8(m)．∴AH＝BH＝8m，在Rt△AHC中，tan65°＝CHAH，例1答图∴CH≈8×2.1＝16.8(m)，∴BC＝CH－BH≈16.8－8≈9(m)．答：云梯大约需要继续上升9m.【点悟】解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题，再根据三角函数求解．类型之二与俯角有关的应用问题[2018·通辽]我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图4­4­3所示，其中山脚A，C两地的海拔高度约为1000m，山顶B处的海拔高度约为1400m，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°.若在A，C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米(结果取整数，参考数据：3≈1.732)．图4­4­3解：如答图，作BD⊥AC于点D.由题意可得，BD＝1400－1000＝400(m)，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°.在Rt△ABD中，∵tan30°＝BDAD，即400AD＝33，∴AD＝4003m.在Rt△BCD中．例2答图∵tan45°＝BDCD，即400CD＝1，∴CD＝400m，∴AC＝AD＋CD＝4003＋400≈1093(m)．答：隧道最短约为1093m.【点悟】解决本题的关键作△ABC的高，将三角形分成两个直角三角形．当堂测评1．[2018·长春]如图4­4­4，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800m到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为()A．800sinαmB．800tanαmC.800sinαmD．800tanαmD图4­4­42．[2018·黄石]如图4­4­5，无人机在空中C处测得地面A，B两点的俯角分别为60°，45°.若无人机距地面的高度CD为1003m，点A，D，B在同一水平直线上，则A，B两点间的距离是m．(结果保留根号)图4­4­5100(1＋3)分层作业1．[2018·天津]如图4­4­6，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得乙的底部C处的俯角为58°.求甲、乙建筑物的高度AB和DC.(结果取整数，参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60)图4­4­6解：如答图，过点D作DE⊥AB于点E.易知四边形BCDE为矩形，∴ED＝BC＝78m，DC＝EB.在Rt△ABC中，∠ACB＝58°，tan∠ACB＝ABBC，∴AB＝BC·tan58°≈78×1.60≈125(m)．在Rt△AED中，∠ADE＝48°，tan∠ADE＝AEED，∴AE＝ED·tan48°≈78×1.11≈87(m)．第1题答图∴EB＝AB－AE≈125－87＝38(m)．∴DC＝EB≈38m.答：甲建筑物的高度AB约为125m，乙建筑物的高度DC约为38m.2．[2018·昆明]小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国—南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°(B，C，D在同一条直线上)，AB＝10m，隧道高6.5m(即BC＝6.5m)，求标语牌CD的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，3≈1.73)图4­4­7解：如答图，作AE⊥BD于点E.在Rt△AEB中，∵∠EAB＝30°，AB＝10m，∴BE＝12AB＝5m，AE＝53m，在Rt△ADE中，DE＝AE·tan42°≈7.79m，∴BD＝DE＋BE≈12.79m，∴CD＝BD－BC≈12.79－6.5≈6.3(m)．答：标语牌CD的长约为6.3m.第2题答图3．[2018·张家界]2017年9月8日～10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图4­4­8，某选手从离水平地面1000m高的A点出发(AB＝1000m)，沿俯角为30°的方向直线飞行1400m到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC.解：如答图，作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则∠ADE＝30°，∠CDF＝30°.∴在Rt△ADE中，AE＝12AD＝12×1400＝700，DE＝3AE＝7003，∴BE＝AB－AE＝1000－700＝300，第3题答图∴DF＝300，BF＝7003.在Rt△CDF中，CF＝33DF＝33×300＝1003，∴BC＝7003＋1003＝8003.答：该选手飞行的水平距离BC为8003m.4．[2018·镇江]如图4­4­9，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD为24m．小明在点E(B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8m到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6m，求教学楼AB的高度．(精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图4­4­9解：如答图，延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M.由题意可得，MB＝HG＝FE＝ND＝1.6m，HF＝GE＝8m，MF＝BE，HN＝GD，MN＝BD＝24m.设AM＝xm，则CN＝xm.在Rt△AFM中，MF＝AMtan45°＝x1＝x，在Rt△CNH中，HN＝CNtan30°＝x33＝3x，第4题答图∴HF＝MF＋HN－MN＝x＋3x－24，即8＝x＋3x－24，解得x≈11.7，∴AB≈11.7＋1.6＝13.3(m)．答：教学楼AB的高度约为13.3m.