2019年高中数学 第三章 不等式 3.5 绝对值不等式 第二课时 绝对值不等式（2）课件 新人教A

第二课时绝对值不等式(2)课标要求:会解|x+b|≤c,|x+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式.自主学习知识探究1.形如|x|a型与|x|a型不等式的解法不等式a0a=0a0|x|a{x|-axa}|x|a{x|xa或x-a}{x∈R|x≠0}R2.形如|ax+b|≤c(c0)和|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法只需将ax+b看成一个整体,即化成|x|≤a,|x|≥a(a0)型不等式求解.|ax+b|≤c(c0)型不等式的解法:先化为,再由不等式的性质求出原不等式的解集,不等式|ax+b|≥c(c0)的解法:先化为或,再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集.-c≤ax+b≤cax+b≥cax+b≤-c3.形如|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点的距离;|x-a|±|x-b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a,b的点的距离之和(差).形如|x-a||x-b|、|x-a||x-b|(a≠b)型的不等式可通过两边平方去绝对值符号的方法求解.(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式取值的正、负性,进而去掉绝对值符号是解题关键.(3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键.自我检测A解析:因为|x2-x|2,所以-2x2-x2,即2220,R,12,20xxxxx，所以x∈(-1,2).故选A.1.不等式|x2-x|2的解集为()(A)(-1,2)(B)(-1,1)(C)(-2,1)(D)(-2,2)解析:由01xx得x0或x1,故选B.2.不等式|1xx|1xx的解集是()(A){x|0x1}(B){x|x0或x1}(C){x|0x}(D){x|x1}B3.不等式|x+1|+|x-4|≥7的解集是()(A)(-∞,-3]∪[4,+∞)(B)[-3,4](C)(-∞,-2]∪[5,+∞)(D)[-2,5]C解析:当x-1时,-x-1-x+4≥7,得x≤-2,当-1≤x4时,x+1-x+4≥7,不成立,当x≥4时,x+1+x-4≥7,得x≥5,综上:不等式的解集为{x|x≤-2或x≥5}.故选C.4.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是.解析:若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,只需|x-a|+|x-1|的最小值满足不大于3.在数轴上,|x-a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A的距离,|x-1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离,所以(|PA|+|PB|)min=|a-1|,从而|a-1|≤3,解得-2≤a≤4.答案:-2≤a≤4题型一|ax+b|≤c与|ax+b|≥c(c0)型的不等式的解法课堂探究解:(1)|5x-2|≥8⇔5x-2≥8或5x-2≤-8⇔x≥2或x≤-65,所以原不等式的解集为{x|x≥2或x≤-65}.【例1】解下列关于x的不等式:(1)|5x-2|≥8;解:(2)原不等式等价于|2|2,|2|4.xx①②由①得x-2≤-2,或x-2≥2,所以x≤0或x≥4.由②得-4≤x-2≤4,所以-2≤x≤6.所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤0或4≤x≤6}.(2)2≤|x-2|≤4;解:(3)若x≥-1,则ax+x+1≤1,即(a+1)x≤0.因为-1a1,所以x≤0.又x≥-1,所以-1≤x≤0.若x-1,则ax-x-1≤1,即(a-1)x≤2.因为-1a1,所以x≥21a.所以21a-(-1)=11aa0.所以21a≤x-1.综上所述,21a≤x≤0.故不等式的解集为[21a,0].(3)ax+|x+1|≤1(-1a1).方法技巧|ax+b|≥c和|ax+b|≤c型不等式的解法:①当c0时,|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c.②当c=0时,|ax+b|≥c的解集为R,|ax+b|c的解集为.③当c0时,|ax+b|≥c的解集为R,|ax+b|≤c的解集为.即时训练1-1:解下列不等式:(1)|3-2x|9;解:(1)因为|3-2x|9,所以|2x-3|9.所以-92x-39.即-62x12.所以-3x6.所以原不等式的解集为{x|-3x6}.解:(2)因为|x-x2-2|=|x2-x+2|,而x2-x+2=(x-12)2+740,所以|x-x2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2.故原不等式等价于x2-x+2x2-3x-4⇔x-3.所以原不等式的解集为{x|x-3}.(2)|x-x2-2|x2-3x-4;(3)|x2-3x-4|x+1.解:(3)不等式可转化为x2-3x-4x+1或x2-3x-4-x-1,所以x2-4x-50或x2-2x-30.解得x5或x-1或-1x3,所以不等式的解集是(5,+∞)∪(-∞,-1)∪(-1,3).题型二|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法解:(1)法一原不等式可化为|2x+1|2|x-1|,两边平方得4x2+4x+14(x2-2x+1),解得x14,所以原不等式的解集为{x|x14}.【例2】解不等式:(1)|2x+1|-2|x-1|0;法二原不等式等价于1,2(21)2(1)0xxx或11,2(21)2(1)0xxx或1,(21)2(1)0.xxx解得x14,所以原不等式的解集为{x|x14}.解:(2)①当x-3时,原不等式化为-(x+3)-(1-2x)2x+1,解得x10,所以x-3.(2)|x+3|-|2x-1|+1.2x②当-3≤x12时,原不等式化为(x+3)-(1-2x)2x+1,解得x-25,所以-3≤x-25.③当x≥12时,原不等式化为(x+3)+(1-2x)2x+1,解得x2,所以x2.综上可知,原不等式的解集为{x|x-25或x2}.方法技巧(1)用零点分段法画出分段函数的图象,结合图象的直观性求出不等式的解集,体现数形结合思想的应用.(2)解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,零点分段法操作程序是:找零点,分区间,分段讨论.此外还常利用绝对值的几何意义求解.(1)解:当x12时,原不等式等价于2x-1+3x+211,即12x2;当-23≤x≤12时,原不等式等价于1-2x+3x+211,即-23≤x≤12;当x-23时,原不等式等价于1-2x-3x-211,即-125x-23.所以原不等式的解集为{x|-125x2}.即时训练2-1:(1)解关于x的不等式:|2x-1|+|3x+2|11.(2)①证明:f(x)=|x-2|-|x-5|=3,2,27,25,3,5.xxxx当2x5时,-32x-73,所以-3≤f(x)≤3.(2)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.①证明:-3≤f(x)≤3;②解:由①可知,当x≤2时,f(x)≥x2-8x+15,即为x2-8x+18≤0,解集为空集;当2x5时,f(x)≥x2-8x+15即为x2-10x+22≤0,解集为{x|5-3≤x5};当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15即为x2-8x+12≤0,解集为{x|5≤x≤6}.综上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-3≤x≤6}.②求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.题型三含绝对值不等式的综合问题【例3】已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,函数g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)g(x)的解集;解:(1)法一当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|x+3,当x≥1时,4x-3x+3,得x2,所以1≤x2;当x≤12时,-4x+3x+3,得x0,所以0x≤12;当12x1时,1x+3,得x-2,所以12x1.综上不等式f(x)g(x)的解集为{x|0x2}.法二当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=15,,212,1,236,1,xxxxxx其图象如图所示,从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是{x|0x2}.解:(2)因为a-1,当x∈[-2a,12]时,f(x)=1+a,不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈[-2a,12]都成立,故-2a≥a-2,即a≤43.所以实数a的取值范围为(-1,43].(2)设a-1,且当x∈[-2a,12]时,恒有f(x)≤g(x),求实数a的取值范围.方法技巧对于不等式恒成立求参数范围问题,常见类型及其解法如下:(1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.(2)更换主元法:不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简便的解法.(3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观地解决问题.即时训练3-1:设有关于x的不等式lg(|x+3|+|x-7|)a.(1)当a=1时,解此不等式;解:(1)当a=1时,lg(|x+3|+|x-7|)1⇔|x+3|+|x-7|10,⇔x7或x-3.所以不等式的解集为{x|x-3或x7}(2)当a为何值时,此不等式的解集是R?解:(2)设f(x)=|x+3|+|x-7|,则有f(x)≥|(x+3)-(x-7)|=10,当且仅当(x+3)(x-7)≤0,即-3≤x≤7时,f(x)取得最小值10.所以lg(|x+3|+|x-7|)≥1.要使lg(|x+3|+|x-7|)a的解集为R,只要a1.