2019年高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第一课时 基本不等式课件 新人教A版必修5

3.4基本不等式:≤第一课时基本不等式ab2ab课标要求:1.掌握基本不等式,明确基本不等式成立的条件.2.了解基本不等式的证明过程.3.会用基本不等式证明一些简单的不等式.4.能用基本不等式比较代数式的大小.自主学习知识探究1.重要不等式对于任意实数a,b,有,当且仅当a=b时,等号成立.证明:(a-b)2≥0⇔a2+b2-2ab≥0⇔a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.a2+b2≥2ab【知识拓展】(1)重要不等式的实质是实数平方的非负性,不等式中a,b的取值既可以是某个具体的数,也可以是一个代数式.(2)不等式a2+b2≥2ab可以变形为ab≤222ab,4ab≤a2+b2+2ab,2(a2+b2)≥(a+b)2等.2.基本不等式(1)基本不等式如果a0,b0,那么,当且仅当a=b时,等号成立.其中,2ab叫做正数a,b的算术平均数,ab叫做正数a,b的几何平均数.因此,基本不等式也可以叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.从数列的角度来看,如果把2ab看做正数a,b的等差中项,ab看做正数a,b的等比中项,那么基本不等式可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2abab【知识拓展】(1)事实上,当a0,b0时,我们分别用a,b代替重要不等式中的a,b,可得a+b≥2ab,变形可得ab≤2ab.(2)基本不等式可变形为a+b≥2ab,ab≤(2ab)2等.(3)由基本不等式,我们可以得到一个常用结论:ba+ab≥2(ab0).(2)基本不等式的证明①代数证法法一因为a+b-2ab=(a)2+(b)2-2ab=(a-b)2≥0,所以a+b-2ab≥0,即a+b≥2ab,所以ab≤2ab.当且仅当a=b时,等号成立.法二要证2ab≥ab,①只要证a+b≥2ab,②要证②,只要证a+b-2ab≥0,③要证③,只要证(a-b)2≥0,④显然④是成立的,当且仅当a=b时,④中的等号成立.②几何证法如图,以Rt△ABD的斜边AB为直径作☉O,则点D在☉O上,过点D作DC⊥AB于点C,连接OD.记AC=a,BC=b,因为∠DAC=∠BDC,且∠ACD=∠BCD,所以△ACD∽△DCB,所以ACCD=CDBC,即CD=ab.由于CD≤OD=2ab,所以ab≤2ab.显然,上述不等式当且仅当点C与圆心O重合,即a=b时,等号成立.自我检测1.已知a,b∈R,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()(A)a2+b22ab(B)a+b≥2ab(C)1a+1b2ab(D)ba+ab≥2D解析:因为a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立,所以A错误;对于D,因为ab0,所以ba+ab≥2baab=2.对于B,C,当a0,b0时,明显错误.故选D.解析:当且仅当a=2a,即a=±2时等号成立.故选D.2.不等式a2+24a≥4中,等号成立的条件是()(A)a=4(B)a=2(C)a=-2(D)a=±2D3.设0ab,则下列不等式中正确的是()B(A)abab2ab(B)aab2abb(C)aabb2ab(D)aba2abb解析:0ab⇒a2abb2⇒aabb,0ab⇒2aa+b2b⇒a2abb,又ab2ab,所以aab2abb.故选B.4.若m≠0,则实数m2+与2的大小关系为.21m解析:由不等式a2+b2≥2ab可知,m2+21m≥2m·1m=2,当且仅当m=±1时等号成立.答案:m2+21m≥25.已知a0,b0,求证2ab≤222ab.证明:因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,所以222ab≥(2ab)2.又因为a0,b0,所以2ab≤222ab.题型一对基本不等式的理解课堂探究【例1】给出下列命题:(1)若x∈R,则x+1x≥2;(2)若a0,b0,则lga+lgb≥2lglgab;(3)若a0,b0,则ab+1ab≥2;(4)不等式yx+xy≥2成立的条件是x0且y0.其中正确命题的序号是.解析:只有当x0时,才能由基本不等式得到x+1x≥21xx=2,故(1)错;当a0,b0时,lga∈R,lgb∈R,不一定有lga0,lgb0,故lga+lgb≥2lglgab不一定成立,(2)错;当a0,b0时,ab0,由基本不等式可得ab+1ab≥21abab=2,故(3)正确;由基本不等式可知,当yx0,xy0时,有yx+xy≥2yxxy=2成立,这时只需x与y同号即可,故(4)错误.答案:(3)方法技巧应用基本不等式时,首先根据题目的特征,确定“a”和“b”.它们可以是数字也可以是复杂的代数式.其次,注意“a”和“b”的符号,必须都是正数,最后看“=”号能否成立.即时训练1-1:下列不等式的推导过程正确的是.①若x0,则cosx+1cosx≥21coscosxx=2;②若x0,则x+4x=-[(-x)+(-4x)]≤-24()()xx=-4;③x2+3+212x=x2+2+212x+1≥2221(2)2xx+1=3.解析:在①中,由x0不能保证cosx0,故不能应用基本不等式;②由于x0,所以-x0,故可以利用基本不等式结合不等式的性质推导,推导过程是正确的;③虽然可以利用基本不等式推导,但等号成立的条件是x2+2=212x,即x2+2=1,这显然不可能,从而等号取不到,因此只能得到x2+3+212x3.答案:②题型二利用基本不等式比较大小【例2】设a0,b0,试比较2ab,ab,222ab,211ab的大小,并说明理由.解:因为a0,b0,所以1a+1b≥2ab;即ab≥211ab(当且仅当a=b时取等号),又(2ab)2=2224aabb≤22224abab=222ab.所以2ab≤222ab(当且仅当a=b时等号成立),而ab≤2ab,故222ab≥2ab≥ab≥211ab(当且仅当a=b时等号成立).方法技巧(1)在应用基本不等式时,一定要注意是否满足条件,即a0,b0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,不妨运用基本不等式试试看.即时训练2-1:如果0ab1,P=lo12log2ab,Q=12(12loga+12logb),M=1212log(a+b),那么P,Q,M的大小顺序是()(A)PQM(B)QPM(C)QMP(D)MQP解析:因为P=12log2ab,Q=12(12loga+12logb)=12logab,M=1212log(a+b)=12logab,所以只需比较2ab,ab,ab的大小.显然2abab,又因为2abab,(由a+b2()4ab也就是4ab1可得),所以ab2abab.而y=12logx为减函数,故QPM.故选B.题型三利用基本不等式证明不等式【例3】已知a,b,c0,求证:2ab+2bc+2ca≥a+b+c.解:因为a,b,c,2ab,2bc,2ca均大于0,所以2ab+b≥22abb=2a,当且仅当2ab=b时等号成立.2bc+c≥22bcc=2b,当且仅当2bc=c时等号成立.2ca+a≥22cca=2c,当且仅当2ca=a时等号成立.相加得2ab+b+2bc+c+2ca+a≥2a+2b+2c.所以2ab+2bc+2ca≥a+b+c.方法技巧利用基本不等式证明不等式的条件要求:(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.即时训练3-1:已知:a0,b0,c0且a+b+c=1.求证:(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.证明:因为a+b+c=1,a0,b0,c0,所以1a-1=abca-1=bca≥2bca0,1b-1=abcb-1=acb≥2acb0,1c-1=abcc-1=abc≥2abc0,将以上三式相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8abbcacabc=8,即(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.