2019年高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第二课时 基本不等式的应用习题课课件 新人教

第二课时基本不等式的应用习题课课标要求:1.进一步熟练掌握基本不等式,能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.3.能够利用基本不等式解决一些不等式的恒成立问题.自主学习知识探究最值定理设a,b均为正数.(1)若a+b为定值S,则当a=b时,积ab取最大值;(2)若ab为定值G,则当a=b时,和a+b取最小值.214S2G自我检测1.若实数a,b满足a+b=2,则2a+2b的最小值为()(A)2(B)22(C)2(D)4D解析:因为a+b=2,所以2a+2b≥222ab=22ab=222=4.故选D.解析:因为x,y都是正数,且x+y=40,所以xy≤(2xy)2=400,当且仅当x=y=20时取等号.故选A.2.设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值为()(A)400(B)100(C)40(D)20A3.下列各式中,最小值为2的是()(A)xy+yx(B)2232xx(C)5x+5-x(D)tanx+1tanxC解析:选项A,当x,y异号时,可得xy+yx≤-2,错误;选项B,可化为22x+212x≥2,当取等号时22x=212x可得x2=-1,即取不到最小值2,错误;选项C,由基本不等式可得5x+5-x≥255xx=2,当且仅当5x=5-x即x=0时取等号,正确;选项D,tanx为负数时,可得最大值为-2,故错误.选C.4.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品件.解析:设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=800x+8x≥28008xx=20.当且仅当800x=8x(x0),即x=80时,“=”成立.答案:808x5.已知x0,y0.若2yx+8xym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是.解析:因为x0,y0.所以2yx+8xy≥8(当且仅当2yx=8xy时取“=”).若2yx+8xym2+2m恒成立,则m2+2m8,解之得-4m2.答案:(-4,2)题型一利用基本不等式求函数的最值课堂探究【例1】(1)已知x54,求函数f(x)=4x-2+145x的最大值;解:(1)因为x54,所以5-4x0.所以f(x)=4x-2+145x=-[(5-4x)+154x]+3-21(54)54xx+3=-2+3=1,当且仅当5-4x=154x,即x=1时,上式等号成立.故当x=1时,f(x)max=1.解:(2)因为x1,所以x-10,所以y=21xx=2111xx=x+1+11x=x-1+11x+2≥2+2=4.当且仅当11x=x-1,即x=2时,等号成立,所以当x=2时,ymin=4.(2)若x1,求函数y=21xx的最小值.方法技巧(1)利用基本不等式求最大值或最小值时应注意:①x,y一定要都是正数;②求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应看积xy是否为定值;③等号是否能够成立.以上三点可简记为“一正,二定,三相等”.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项,添项,配凑,变形”等方法创建应用基本不等式的条件.即时训练1-1:(1)设0x32,求函数y=4x(3-2x)的最大值.解:(1)因为0x32,所以33-2x0,所以y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2[2(32)2xx]2=92.当且仅当2x=3-2x,即x=34时,等号成立.因为34∈(0,32),所以函数y=4x(3-2x)(0x32)的最大值为92.解:(2)因为x-1,所以x+10,f(x)=2261xxx=2(1)451xxx=2(1)4(1)91xxx=x+1+91x-4.因为x+1+91x≥29(1)1xx=6,所以f(x)≥2,当且仅当x+1=91x,即x=2时,f(x)有最小值2.(2)求f(x)=2261xxx(x-1)的最小值.题型二利用基本不等式求代数式的最值【例2】已知x0,y0,且满足8x+1y=1.求x+2y的最小值.解:法一因为x0,y0,8x+1y=1,所以x+2y=(8x+1y)(x+2y)=10+xy+16yx≥10+216xyyx=18,当且仅当811,16=xyxyyx，即12,3xy时,等号成立,故当x=12,y=3时,(x+2y)min=18.法二因为x0,y0且8x+1y=1,所以y=8xx,所以由y0⇒8xx0,又x0,所以x8,则x+2y=x+28xx=x+2(8)168xx=x+2+168x=(x-8)+168x+10≥216(8)8xx+10=18,当且仅当x-8=168x,即x=12(此时y=3)时,等号成立,故当x=12,y=3时,(x+2y)min=18.法三由8x+1y=1得8y+x=xy,所以(x-8)(y-1)=8.所以x+2y=(x-8)+2(y-1)+10≥2(8)2(1)xy+10=18.当且仅当x-8=2(y-1)时取等号,又8x+1y=1,所以x=12,y=3,所以当x=12,y=3时,x+2y取得最小值18.方法技巧(1)配凑法即通过对式子进行变形,配凑出满足基本不等式的条件.(2)通过消元,化二元问题为一元问题,要注意被代换的变量的范围对另一个变量范围的影响.(3)常见的变形技巧有①配凑系数;②变符号;③拆补项.常见形式有f(x)=ax+bx型和f(x)=ax(b-ax)型.题型三基本不等式的实际应用【例3】某市近郊有一块500m×500m的正方形的荒地,地方政府准备在此建一个综合性休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,其中总面积为3000平方米,其中阴影部分为通道,通道宽度为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为S平方米.(1)分别用x表示y和S的函数关系式,并给出定义域;解:(1)由已知xy=3000,所以y=3000x,其定义域是(6,500).S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a,又因为y=2a+6,所以a=62y=300062x=1500x-3,S=(2x-10)(1500x-3)=3030-(15000x+6x),其定义域是(6,500).解:(2)S=3030-(15000x+6x)≤3030-2150006xx=3030-2×300=2430,当且仅当15000x=6x,即x=50∈(6,500)时,上述不等式等号成立,此时,x=50,y=60,Smax=2430.设计x=50m,y=60m时,运动场地面积最大,最大值为2430平方米.(2)怎样设计能使S取得最大值,并求出最大值.方法技巧在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数.(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最大值或最小值.(4)回到实际问题中,结合实际意义写出正确的答案.解析:设窗户的宽为x,则其高为6-2x(0x3),要使阳光最充足,只要面积最大,S=x(6-2x)=2x(3-x)≤2×[(3)2xx]2=92,当且仅当x=32时等号成立,这时高为3m.即时训练3-1:用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗),要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的高为m,宽为m.答案:332题型四利用基本不等式求解恒成立问题【例4】已知两个正数x,y满足x+y=4,求使不等式1x+4y≥m恒成立的实数m的取值范围.解:因为x+y=4,所以4x+4y=1,所以1x+4y=(1x+4y)·(4x+4y)=14+4yx+xy+1=54+4yx+xy≥54+24yxxy=54+2×12=94,当且仅当,44,yxxyxy即4,383xy时,取“=”,要使1x+4y≥m恒成立,只需m≤94即可,故m的取值范围是(-∞,94).方法技巧a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;af(x)恒成立⇔af(x)max;a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min;af(x)恒成立⇔af(x)min.即时训练4-1:(1)已知a0,b0,如果不等式2a+1b≥2mab恒成立,那么m的最大值等于()(A)10(B)7(C)8(D)9解析:(1)不等式2a+1b≥2mab恒成立,即不等式m≤(2a+b)·(2a+1b)恒成立,而(2a+b)(2a+1b)=5+2ab+2ba≥5+222abba=9,所以m≤9,m的最大值等于9,故选D.答案:(1)D(2)设a,b,c∈(0,+∞),若(a+b+c)(1a+1bc)≥k恒成立,则k的最大值是.解析:(2)因为a,b,c∈(0,+∞),所以b+c0,所以(a+b+c)(1a+1bc)=2+bca+abc≥2+2bcaabc=4,当且仅当bca=abc,即a2=(b+c)2时取“=”,要使(a+b+c)(1a+1bc)≥k恒成立,只需k≤4即可,故k的最大值为4.答案:(2)4