2019年高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 第二课时 平面区域与线性规划习题

第二课时平面区域与线性规划习题课课标要求:1.进一步巩固二元一次不等式(组)所表示的平面区域.2.掌握一些简单的线性规划中的求参数值或参数的取值范围问题.3.了解简单的线性规划最优整数解的求解方法.自主学习自我检测D1.在平面直角坐标系中,不等式组10,0,40xxyxy表示的平面区域的面积是()(A)3(B)92(C)6(D)9解析:作出平面区域如图所示(阴影部分),△ABC的面积即为所求.不难求得A(-2,2),B(1,5),C(1,-1),则S△ABC=12×6×3=9.故选D.2.直线2x+y-10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有()(A)0个(B)1个(C)2个(D)无数个0,0,2,4320xyxyxyB解析:画出不等式组0,0,2,4320xyxyxy表示的可行域,如图中阴影部分所示(含边界).因为直线2x+y-10=0过点A(5,0),且其斜率为-2,小于直线4x+3y=20的斜率-43,故只有一个公共点(5,0),故选B.D解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.点A(2,3)与原点(0,0)距离最大.所以x2+y2的最大值为13,选D.3.已知220,240,330,xyxyxy则x2+y2的最大值为()(A)1(B)4(C)13(D)134.已知x,y满足且z=2x+4y的最小值为-6,则常数k=.50,3,0,xyxxyk解析:由条件作出可行域如图.根据图象知,目标函数过x+y+k=0与x=3的交点(3,-3-k)时取最小值,代入目标函数得-6=2×3+4×(-3-k),所以k=0.答案:05.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为元.解析:设需租赁甲种设备x台、乙种设备y台,租赁费为z元.根据题意得50,3,0,xyxxykz=200x+300y.如图可知z在A(4,5)处取到最小值,zmin=4×200+5×300=2300(元).答案:2300题型一二元一次不等式组表示的平面区域课堂探究【例1】若不等式组0,34,34xxyxy所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分,则k的值是()(A)73(B)37(C)43(D)34解析:不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y=kx+43过定点(0,43).因此只有直线过AB中点时,直线y=kx+43能平分平面区域面积.因为A(1,1),B(0,4),所以AB中点D(12,52).当y=kx+43过点(12,52)时,52=2k+43,所以k=73.故选A.方法技巧解答本题的关键是根据直线y=kx+过定点(0,),结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件.4343即时训练1-1:若不等式组20,220,20xyxyxym表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为()(A)-3(B)1(C)43(D)3解析:如图所示,由于不等式组表示的平面区域为△ABC,且其面积等于43,注意到直线AB:x-y+2m=0与直线AC:x+y-2=0互相垂直,所以△ABC是直角三角形.易知C(2,0),A(1-m,1+m),B(243m,223m),D(-2m,0).从而S△ABC=12|2+2m|·|m+1|-12|2+2m|·|223m|=43,化简得(m+1)2=4,解得m=-3或m=1.经检验,知当m=-3时,不等式组不能表示一个三角形区域,故舍去,所以m=1.故选B.题型二含参数的线性规划问题【例2】已知变量x,y满足约束条件(1)若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为.14,22,xyxy解析:(1)作出不等式组表示的平面区域,即可行域(如图所示),为矩形ABCD(包括边界).解方程组2,4,xyxy得3,1,xy即C(3,1),目标函数为z=ax+y(a0),作出直线y=-ax+z,平移y=-ax+z使直线在y轴上的截距最大,可知直线经过点C时,z取得最大值,所以-akCD,即-a-1,则a的取值范围为(1,+∞).答案:(1)(1,+∞)(2)若目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的点有无数个,则a的值为.解析:(2)结合本例中图形,若z=ax+y(a0)取得最大值的点有无数个,则必有直线z=ax+y与x+y=4重合,即-a=-1,此时a=1.答案:(2)1方法技巧根据目标函数的最值求参数的解题思路采用数形结合,先画出可行域,根据目标函数表示的意义,画出目标函数等于最值的直线,它与相应直线的交点就是最优解,再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件,即可求出参数的值或范围.即时训练2-1:设变量x,y满足约束条件其中a1,若目标函数z=x+y的最大值为4,则a的值为.0,3,7,xyxxay解析:根据题意作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.令y=-x+z,则z的几何意义是直线y=-x+z的纵截距,故欲使z最大,只需使直线y=-x+z的纵截距最大即可.因为a1,所以直线x+ay=7的斜率大于-1且小于0,故当直线y=-x+z经过直线y=3x与直线x+ay=7的交点(713a,2113a)时,目标函数z取得最大值,最大值为2813a.由题意得2813a=4,解得a=2.答案:2题型三线性规划中的整数最优解问题【例3】某工厂生产甲、乙两种产品,需要经过金工和装配两个车间加工,有关数据如表所示:加工时间(h/件)产品总有效工时(h)甲乙车间金工43480装配25500售价(元/件)300520试问加工这两种产品各多少件,才能使工厂销售总收入最多?解:设加工甲、乙两种产品分别为x件、y件,工厂销售总收入为z元,则z=300x+520y,由题意得43480,25500,N,N.xyxyxy作出可行域如图所示.考虑z=300x+520y,将它变形为y=-1526x+1520z,这是斜率为-1526,随z变化的一组平行直线.1520z是直线在y轴上的截距,当直线截距最大时,z的值最大.由图可知,当直线z=300x+520y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.由43=480,25=500xyxy得M的坐标为(6427,7427).不满足x∈N,y∈N.平移直线并验证知点(64,74)是最优可行解.即加工甲、乙两种产品分别为64件、74件时,工厂销售总收入最多.方法技巧寻找整点最优解的两个方法(1)平移找解法:先打网格,描整点,平移直线l,最先经过或最后经过整点便是最优整点解,这种方法应充分利用非整点最优解的信息,结合精确的作图才行,当可行域是有限区域且整点个数又较少时,可逐个将整点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解.(2)调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出整点最优解.即时训练3-1:某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物,集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据见下表,那么为了获得最大利润,甲、乙两种货物应各托运多少箱.货物每箱体积/m3每箱重量/kg每箱利润/百元甲5220乙4510托运能力限制数2413解:设甲货物托运x箱,乙货物托运y箱,利润为z百元,由题意得5424,2513,N,Nxyxyxy，z=20x+10y,作出可行域如图所示,作直线l:20x+10y=0,当直线z=20x+10y经过可行域上的点A时,z最大,又A(4.8,0)不是整点,解方程组54=24,25=13,xyxy得点B(4,1)为整点.所以甲货物托运4箱,乙货物托运1箱,可获得最大利润.