2019年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第二课时 等差数列的性质及简单应用课件 新人教A

第二课时等差数列的性质及简单应用课标要求:1.能根据等差数列的定义与通项公式,推导出等差数列的重要性质.2.能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的计算问题.3.能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题.自主学习知识探究若数列{an}是公差为d的等差数列,则有下列性质:1.d0,{an}是递增数列;d0,{an}是递减数列;d=0,{an}是常数列.2.d=11naan=mkaamk(m,n,k∈N*,且n≠1,m≠k).3.an=am+(n-m)d(m,n∈N*).4.若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).5.若2mn=k,则am+an=2ak(m,n,k∈N*).因为am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,2ak=2a1+2(k-1)d=2a1+(m+n-2)d,所以am+an=2ak(m,n,k∈N*).6.若{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+an-i+1=….7.数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列.因为λan+b=λ[a1+(n-1)d]+b=(λa1+b)+(n-1)λd,所以公差为λd.8.下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列.9.若数列{bn}为等差数列,则{an±bn},{kan+bn}(k为非零常数)也是等差数列.10.项数间隔相等或连续等长的项之和仍构成等差数列.例如:a1,a3,a5,…构成等差数列,再比如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…仍构成等差数列.【知识拓展】若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*)不可以推广为“若m,n∈N*,则am+an=am+n”.但可以推广到三项的情况,即“m+n+t=p+q+s,且m,n,t,p,q,s∈N*,则am+an+at=ap+aq+as”.自我检测1.若{an}是等差数列,下列数列中仍为等差数列的有()①{|an|}②{an+1-an}③{pan+q}(p,q为常数)④{2an+n}(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.已知等差数列{an}中,a3=1,a7=-9,则a5等于()(A)-4(B)4(C)-8(D)8CA解析:由a3+a7=2a5=1-9=-8得a5=-4.故选A.3.在等差数列{an}中,已知a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=.解析:因为a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,所以a5=90,a2+a8=2a5=2×90=180.答案:1804.在数列{an}中,a1,a12是方程x2-2x-5=0的两根,若{an}是等差数列,则a5+a8=.解析:因为a1,a12是方程x2-2x-5=0的两根,所以a1+a12=2.又因为{an}是等差数列,所以a5+a8=a1+a12=2.答案:2题型一等差数列性质的应用课堂探究【例1】等差数列{an}中:(1)若a7=m,a14=n,则a21=;解析:(1)因为7+21=14+14,所以a7+a21=2a14,所以a21=2a14-a7=2n-m.答案:(1)2n-m解析:(2)因为a1+a3+a5=(a1+a5)+a3=2a3+a3=3a3=-1,所以a3=-13,所以a1+a2+a3+a4+a5=5a3=5×(-13)=-53.(2)若a1+a3+a5=-1,则a1+a2+a3+a4+a5=;答案:(2)-53解析:(3)因为a2+a3+a4+a5=34且a3+a4=a2+a5,所以2(a2+a5)=34,所以a2+a5=17,又a2·a5=52,所以25413aa或2513,4.aa又因为a4a2,所以a4-a2=2d0,所以d0,所以a5a2,所以a5=13.(3)若a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,且a4a2,则a5=.答案:(3)13方法技巧求解等差数列有关计算问题的常用方法:一是基本量方法,即建立关于a1和d的方程组求出a1和d再解决问题;二是运用等差数列的性质,若m+n=p+q=2k,且m,n,p,q,k∈N*,则am+an=ap+aq=2ak.即时训练1-1:(1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于()(A)14(B)21(C)28(D)35解析:(1)因为a3+a4+a5=12,所以3a4=12,则a4=4,又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,故a1+a2+…+a7=7a4=28.故选C.(2)已知{an},{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为()(A)-6(B)6(C)0(D)10解析:(2)由于{an},{bn}都是等差数列,所以{an-bn}也是等差数列,而a1-b1=6,a20-b20=6,所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.故选B.题型二等差数列的综合问题【例2】已知数列{an}满足a1=15,且当n1,n∈N*时,有1nnaa=12112nnaa.(1)求证:数列{1na}为等差数列;(1)证明:当n≥2时,1nnaa=12112nnaa,得an-1-an=4an-1an.两边同除以an-1an,得1na-11na=4,所以{1na}是以11a=5为首项,以d=4为公差的等差数列.(2)解:a1a2是数列{an}中的项.理由:由(1)得1na=11a+(n-1)d=4n+1,所以an=141n,所以a1a2=15×19=145.假设a1a2是数列{an}中的第t项,则at=141t=145,解得t=11∈N*,所以a1a2是数列{an}中的第11项.(2)试问a1a2是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.方法技巧解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.(3)利用函数或不等式的有关方法解决.即时训练2-1:已知数列{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)设等差数列的公差为d.因为a1+a2+a3=12,所以a2=4,因为a8=a2+(8-2)d,所以16=4+6d,所以d=2,所以an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.故an=2n.(2)若从数列{an}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出数列{bn}的通项公式.解:(2)a2=4,a4=8,a6=12,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.当n1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.所以数列{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列.所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.故bn=4n.题型三等差数列的实际应用【例3】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请根据提供的信息说明,求:(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由;(3)哪一年的规模最大?请说明理由.解:由题干图可知,从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列,记为{an},公差为d1,且a1=1,a6=2;从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列,记为{bn},公差为d2,且b1=30,b6=10;从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}.则cn=anbn.(1)由a1=1,a6=2,得1111,52,aad所以111,0.2ad⇒a2=1.2.由b1=30,b6=10,得11230,510,bbd所以1230,4bd⇒b2=26.则c2=a2b2=1.2×26=31.2.(3)因为an=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8,bn=30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1≤n≤6),所以cn=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34)=-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6).因为对称轴为n=94,所以当n=2时,cn最大.答:(1)第2年养鸡场的个数为26个,全县出产鸡的总数是31.2万只;(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了;(3)第2年的规模最大.(2)因为c6=a6b6=2×10=20c1=a1b1=30,所以到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.方法技巧(1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决.(2)解答等差数列应用题的一般步骤:①审题;②建模,将实际问题转化为数学问题;③判型,分清该数列是否为等差数列;④求解,按照等差数列的有关知识求出结果;⑤还原,将结果还原到实际问题中.即时训练3-1:某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次)解:设在相同的时间内,从低到高每档次产品的产量分别为a1,a2,…,a10,利润分别为b1,b2,…,b10,则{an},{bn}均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,所以an=60-3(n-1)=-3n+63,bn=8+2(n-1)=2n+6,所以利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864.答:在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.