2019年高考数学二轮复习 专题四 函数概念、基本初等函数及导数 第3讲 与二次函数有关的综合性问题

第3讲与二次函数有关的综合性问题核心整合二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:f(x)=.②顶点式:f(x)=.③零点式:f(x)=.ax2+bx+c(a≠0)a(x-m)2+n(a≠0)a(x-x1)(x-x2)(a≠0)解析式f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0)图象定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域[244acba,+∞)(-∞,244acba](2)二次函数的图象和性质单调性在x∈(-∞,-2ba]上单调递减;在x∈[-2ba,+∞)上单调递增在x∈(-∞,-2ba]上单调递增;在x∈[-2ba,+∞)上单调递减对称性函数的图象关于x=-2ba对称【归纳拓展】(1)若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当0,0a时恒有f(x)0,当0,0a时,恒有f(x)0.(2)对于二次函数y=f(x),若f(x1)=f(x2),则函数f(x)的图象关于直线x=122xx对称.【温馨提示】(1)求二次函数解析式时需要合理选择一般式、顶点式、零点式.(2)二次函数最值问题的解法:抓住“三点一轴”数形结合.(3)二次项系数含有字母时,要对二次项系数是否等于零进行讨论.核心突破考点一二次函数解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解:法一(利用一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得2421,1,48,4abcabcacba解得4,4,7.abc所以所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.法二(利用顶点式)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).因为f(2)=f(-1),所以拋物线的对称轴为x=212=12.所以m=12.又根据题意,函数有最大值8,所以n=8.所以y=f(x)=a(x-12)2+8.因为f(2)=-1,所以a(2-12)2+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-4(x-12)2+8=-4x2+4x+7.法三(利用零点式)由已知f(x)+1=0两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即24214aaaa=8.解得a=-4或a=0(舍去).所以所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.方法技巧根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下:【题组训练】1.函数f(x)=ax2+bx+8满足条件f(-1)=f(3),则f(2)的值()(A)5(B)6(C)8(D)与a,b值有关C解析:因为f(3)-f(-1)=8a+4b=0,所以4a+2b=0,所以f(2)=4a+2b+8=8.故选C.2.已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)=.解析:由于f(x)有两个零点0和-2,所以可设f(x)=ax(x+2)(a≠0),这时f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a,由于f(x)有最小值-1,所以必有0,1.aa解得a=1.因此f(x)的解析式是f(x)=x(x+2)=x2+2x.答案:x2+2x答案:-2x2+43.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=.解析:因为f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2是偶函数,所以ab+2a=0(a≠0),所以b=-2,当x=0时,2a2=4,所以f(x)=-2x2+4.4.已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求f(x)的解析式.解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,即2ax+a+b=x-1,所以21,1,aab即1,23.2ab所以f(x)=12x2-32x+2.考点二二次函数简单图象和性质【例2】已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)当a=-2时,求f(x)的最值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数.解:(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于x∈[-4,6],所以f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,所以f(x)的最小值是f(2)=-1,又f(-4)=35,f(6)=15,故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即实数a的取值范围为(-∞,-6]∪[4,+∞).方法技巧(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;(2)对于二次函数的综合应用,要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.【题组训练】1.已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].求f(x)的最小值.解:f(x)=(x+a)2+3-a2,关于x=-a对称,因为x∈[-4,6].①当-a≤-4,即a≥4时,f(x)在[-4,6]上为增函数,所以f(x)min=f(-4)=16-8a+3=19-8a.②当-4-a≤6,即-6≤a4时,只有当x=-a时,f(x)min=3-a2,③当-a6时,即a-6时,f(x)在[-4,6]上为减函数,所以f(x)min=f(6)=36+12a+3=39+12a.综上,当a≥4时,f(x)min=19-8a.当-6≤a4时,f(x)min=3-a2.当a-6时,f(x)min=39+12a.解:要使f(x)=0在[-4,6]上有两个不等实根,需0,46,40,60,aff即230,64,1980,39120.aaaa解得,-134≤a-3或3a≤198.2.已知函数f(x)=x2+2ax+3,f(x)=0在[-4,6]上有两个不相等实根,求a的取值范围.3.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值;(2)若函数f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,求a的取值范围.解:(1)当a=-1时,f(x)=(x-1)2+1,所以f(1)=1是f(x)的最小值,f(-5)=37是f(x)的最大值.(2)f(x)的图象的对称轴为直线x=-a.因为函数f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,所以-a≤-5或-a≥5,所以a≥5或a≤-5,所以实数a的取值范围为(-∞,-5]∪[5,+∞).解析:当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,满足条件.当a≠0时,f(x)的对称轴为直线x=32aa,由f(x)在[-1,+∞)上递减知0,31,2aaa解得-3≤a0.综上,a的取值范围为[-3,0].故选D.考点三二次函数单调性相关含参问题【例3】函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是()(A)[-3,0)(B)(-∞,-3](C)[-2,0](D)[-3,0]方法技巧二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.【题组训练】1.函数f(x)=2283,1,log,1,axaxxxx在x∈R内单调递减,则a的取值范围是()(A)(0,12](B)[12,1)(C)[12,58](D)[58,1)解析:要求此函数的两段均为减函数,并且x=1时第一段的函数值在第二段的上方或者相等,即21,01,283log1,aaaa解得1,201,5,8aaa故12≤a≤58.故选C.C2.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是()D(A)(-14,+∞)(B)[-14,+∞)(C)[-14,0)(D)[-14,0]解析:当a=0时,f(x)=2x-3,在定义域R上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为直线x=-1a,因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以a0,且-1a≥4,解得-14≤a0.综上所述得-14≤a≤0.故选D.3.可推得函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1,2]上为增函数的一个条件是()D(A)a=0(B)011aa(C)012aa(D)011aa解析:函数f(x)=ax2-2x+1的对称轴方程为x=-22a=1a.若a0,图象开口向下,要求1a2,显然不可能.要使f(x)在区间[1,2]上为增函数,必有0,11,aa所以函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1,2]上为增函数的一个条件是0,11,aa故选D.4.若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的单调减区间是[-1,+∞),则a=.答案:-3解析:由题意知a0,又32aa=-1,所以a=-3.解:(1)若a=0,原不等式等价于-x+10,解得x1.若a0,则原不等式等价于(x-1a)(x-1)0,解得x1a或x1.若a0,则原不等式等价于(x-1a)(x-1)0,①当a=1时,1a=1,(x-1a)(x-1)0,无解;考点四含参数的一元二次不等式的解法【例4】求下列不等式的解集.(1)ax2-(a+1)x+10;②当a1时,1a1,(x-1a)(x-1)0⇒1ax1;③当0a1时,1a1,(x-1a)(x-1)0⇒1x1a.综上所述,当a0时,解集为{x|x1a或x1};当a=0时,解集为{x|x1};当0a1时,解集为{x|1x1a};当a=1时,解集为;当a1时,解集为{x|1ax1}.解:(2)对于方程x2-2ax+2=0,因为Δ=4a2-8,所以当Δ0,即-2a2时,x2-2ax+2=0无实根;又二次函数y=x2-2ax+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为⌀;当Δ=0时,a=±2时,x2-2ax+2=0有两个相等的实根,当a=2时,原不等式的解集为{x|x=2};当a=-2时,原不等式的解集为{x|x=-2};(2)x2-2ax+2≤0.当Δ0时,即a-2或a2,x2-2ax+2=0有两个不相等的实根,分别为x1=a-22a,x2=a+22a且x1x2,所以原不等式的解集为{x|a-22a≤x≤a+22a}.综上,当a-2或a2时,原不等式的解集为{x|a-22a≤x≤a+22a};当a=2时,原不等式的解集为{x|x=2};当a=-2时,原不等式的解集为{x|x=-2};当-2a2时,原不等式的解集为.方法技巧含有参数的不等式的求解,往往需要比较(相应方程)根的大小,对参数进行分类讨论:(1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论;(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为0,然后再讨论二次项系数不为0的情形,以便确定解集的形式,(3)最后对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.【题组训练】1.已知命题p:1c1和命题q:方程x2+4cx+1=0有两个不等的负实根,若p∨q为真,p∧q为假,求实数c的取值范围.解:由不等式p:1c1,得c0或c1,所以命题￢p:0≤c≤1,又由题意可得0,40,c得c12,得命题q:c12,所以命题￢q:c≤12.由题知:p和q必有一个为真,一个