2019年高考数学二轮复习 专题三 立体几何与空间向量 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积课件

专题三立体几何与空间向量考情概览年份题型·题号·分值题涉考点难度2018选择题·3·4分几何体三视图与直观图易选择题·8·4分空间角中解答题·19·15分线面垂直、线面角中2017选择题·3·4分几何体三视图与直观图、体积公式易选择题·9·4分二面角的平面角中解答题·19·15分线面平行的判定、线面角的求法中2016选择题·2·5分点、线、面位置关系的判定易填空题·11·6分几何体的表面积与体积易填空题·14·6分几何体的体积问题、折叠问题中解答题·17·15分线面垂直问题、二面角问题、空间直角坐标系中2015选择题·2·5分几何体的体积易选择题·8·5分折叠问题、二面角的定义中填空题·13·4分三棱锥内异面直线所成角中解答题·17·15分线面垂直的判定、二面角的求法、空间直角坐标系中2014选择题·3·5分三视图,几何体的表面积易填空题·17·4分立体几何的实际应用、线面角的最大值中解答题·20·15分线面垂直的判定、二面角的求法、空间直角坐标系中说明2016年以前文理科题序相同时没有特别标注,题序不同时进行标注,文理只是考查难度不同,涉及知识点基本一致第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积核心整合1.空间几何体的结构特征(1)多面体①棱柱:侧棱都平行且相等,上、下底面是全等的多边形.②棱锥:底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形.③棱台:由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似的多边形.(2)旋转体①圆柱:由一个矩形绕其一边所在直线旋转得到的几何图形.②圆锥:由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的几何图形.③圆台:由直角梯形绕其直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底面中点连线所在直线旋转一周,也可由平行于底面的平面截圆锥得到的几何图形.④球:由半圆(或圆)绕直径旋转一周(或180°)得到的几何图形.【归纳拓展】(1)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心.(2)正四面体:各条棱均相等的三棱锥为正四面体,其特点是所有面均为正三角形.2.三视图与直观图(1)三视图三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别从几何体的前方、左方、上方观察几何体的轮廓所得.(2)直观图几何体的直观图常用斜二测画法,即原图形中的x轴与y轴在直观图中成45度角.【归纳拓展】(1)三视图下的三个视图要求长对正,高平齐,宽相等.(2)原图形中平行于坐标轴的线在直观图中还是平行于坐标轴,原图形中平行于x轴的线段在直观图中长度不变,平行于y轴的线段在直观图中长度是原来的一半.(3)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积是原图形面积的24倍.3.表面积和体积(1)多面体的表面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体积(V)棱柱直截面周长×lS底·h=S直截面·l棱柱直棱柱chS侧+2S底S底·h棱锥各侧面积之和棱锥正棱锥12ch′S侧+S底13S底·h棱台各侧面积之和棱台正棱台12(c+c′)h′S侧+S上底+S下底13h(S上底+S下底+SS上底下底)名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(21r+22r)4πR2Vπr2h(即πr2l)13πr2h13πh(21r+r1r2+22r)43πR3表中S表示面积,c′,c分别表示上、下底面周长,h表示高,h′表示斜高,l表示侧棱长.(2)旋转体的表面积和体积公式表中l,h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1,r2分别表示圆台上、下底面半径.【归纳拓展】(1)圆柱的侧面展开图是一个长方形,圆锥的侧面展开图是一个扇形,圆台的侧面展开图是一个扇环.(2)求旋转体表面上两点的最短距离可以把旋转体展开后转化为平面图形上两点的直线距离.(3)要注意领会和掌握两种数学思想方法:割补法与等积法.割补法是分割法与补形法的总称.补形法是把不规则(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或添补成规则的(熟悉的或简单的)几何体,把不完整的图形补成完整的图形.分割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体.分割与补形是对立统一的,是一个问题的两个相反方面.割补法无论是求解体积问题还是证明垂直或平行关系都有简化解题过程、开阔思维的优点.等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解平面图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了作辅助线直接计算高的烦琐.(3)多面体与球①定义a.若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球.b.若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球.②常用性质a.内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.b.正多面体的内切球和外接球的球心重合.c.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,一般情况下不重合.d.基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理.e.体积分割是求内切球半径的通用做法.【归纳拓展】(1)正方体的棱长为a,球的半径为R①若球为正方体的外接球,则2R=3a;②若球为正方体的内切球,则2R=a;③若球为正方体的棱切球(球与正方体的各棱相切),则2R=2a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=222abc.(3)边长为a的正四面体的外接球半径为R=64a,内切球半径为r=612a,同时,外接球的半径与内切球的半径之比为3∶1.核心突破考点一空间几何体的三视图(A)π2+1(B)π2+3(C)3π2+1(D)3π2+3【例1】(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()解析:由几何体的三视图可知,该几何体是一个底面半径为1,高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形,高为3的三棱锥的组合体,所以该几何体的体积V=12×13π×12×3+13×12×2×2×3=π2+1.故选A.方法技巧思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:(1)首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;(2)观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;(3)画出整体,然后再根据三视图进行调整.【题组训练】B(A)32(B)23(C)22(D)21.(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()解析:由四棱锥的三视图可知,该四棱锥的直观图(正方体的一部分)如图所示.在四棱锥E-ABCD中,AB=BC=CD=AD=BE=2,EC=AE=22,最长棱ED=22ECCD=22(22)2=23,故选B.C2.(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由三视图得到空间几何体,如图所示,则PA⊥平面ABCD,平面ABCD为直角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1,所以PA⊥AD,PA⊥AB,PA⊥BC.BC⊥AB,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB.在△PCD中,PD=2,PC=3,CD=,所以△PCD为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形为△PAB,△PAD,△PBC,共3个.故选C.3.(2017·嘉兴一模)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.解析:根据几何体的三视图得该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱,其底面是正视图中的直角梯形,上底为1,下底为4,高为4,由侧视图可知这个四棱柱的高是4,所以可求得它的表面积是S表=42+412×4×2+4×2234+1×4+4×4=76,体积是V=S底×h=(412×4)×4=40.答案:76404.(2017·绍兴一模)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为,体积为.解析:该几何体的直观图是如图所示的三棱锥P-ABC,其中PA⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=2,AC=1,BC=2,所以该几何体的表面积S=12×2×1+12×1×2+12×5×2+12×5×2=2+25,体积V=13×2×12×1×2=23.答案:2+2523考点二空间几何体的表面积和体积的最值【例2】(2016·浙江卷)如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.解析:△ABC中,因为AB=BC=2,∠ABC=120°,所以∠BAC=∠BCA=30°.由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=22+22-2×2×2cos120°=12,所以AC=23.当BD⊥AC,平面PBD⊥平面ABC时,四面体PBCD的体积有最大值.此时AD=PD=DC=3,BD=1.Vmax=13PD·S△BDC=13×3×12×3×1=12.所以,四面体PBCD的体积的最大值为12.答案:12方法技巧此题本质是一个折叠问题,相当于在△ABC的边AC上取一点D,沿BD把△ABD折起,使点A到点P的位置后求四面体PBCD的体积的最大值,折叠问题中关注折叠前后变与不变的量与关系,弄清这些关系,折叠问题便能迎刃而解.【题组训练】解析:当球与三棱柱的三个侧面都相切时,球的半径为2,而AA1=3,故球的半径最大值为22,所以V最大=43π×(32)3=9π2.故选B.1.(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球,AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()(A)4π(B)9π2(C)6π(D)32π3B(A)217(B)25(C)3(D)22.(2018·全国Ⅰ卷,理7)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()B解析:先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图①所示.圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=14×16=4,OM=2,所以︱MN︱=22OMON=2224=25.故选B.(A)(0,433］(B)(0,233］(C)(0,833］(D)(0,633］3.已知在半径为2的球面上有A,B,C,D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的取值范围是()解析:设AB,CD的中点分别为M,N,则球心O到AB和CD的距离是相等的,即OM=ON=221=3,当OM,ON在同一直线上,且AB⊥CD时,四面体ABCD的体积最大,Vmax=13S△ABN·CD=433.故选A.A(A)π(B)3π4(C)π2(D)π4考点三空间几何体的外接球与内切球解析:球体与圆柱体的截面图如图,故S柱底=π×(32)2=34π,V柱=S柱底h=34π.故选B.【例3】(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()方法技巧(1)求解空间几何体的体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.1.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()(A)123(B)183(C)243(D)543解析:由等边△ABC的面积为93可得34AB2=93,所以AB=6,所以等边△AB