2019年高考数学二轮复习 专题二 三角函数与解三角形 第3讲 解三角形（一）课件 新人教A版

第3讲解三角形(一)核心整合定理正弦定理余弦定理内容sinaA=sinbB=sincC=2Ra2=________________;b2=____________________;c2=________________________1.正弦定理、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC变形(1)a=2RsinA,b=__________________,c=___________________;(2)sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;(3)a∶b∶c=___________________________;(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAcosA=2222bcabc;cosB=2222cabac;cosC=2222abcab2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC【归纳拓展】(1)三角形内角和定理在△ABC中,A+B+C=π;变形:2AB=π2-2C.(2)三角形中的三角函数关系①sin(A+B)=sinC;②cos(A+B)=-cosC;③sin2AB=cos2C;④cos2AB=sin2C.(3)三角形中的射影定理在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如表:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAababab解的个数一解两解一解一解【归纳拓展】可通过两边和一边的对角来进行作图判断,也可以算出三角形中其他元素,看是否符合三角形一些特性,如三个角之和等于180度,大边对大角等来进行取舍.(1)S=12a·ha(ha表示边a上的高);(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA;(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).3.三角形常用面积公式【温馨提示】公式S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径)中是用等面积法来进行推导的,等积法是一种比较有用的方法,在立体几何中可以用此法来求点到平面的距离.核心突破考点一正、余弦定理解三角形【例1】(2018·北京卷)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-17.(1)求∠A;解:(1)在△ABC中,因为cosB=-17,所以sinB=21cosB=437.由正弦定理得sinA=sinaBb=32.由题设知π2∠Bπ,所以0∠Aπ2,所以∠A=π3.解:(2)在△ABC中,cosA=12,因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3314,所以AC边上的高为asinC=7×3314=332.(2)求AC边上的高.方法技巧(1)已知边、角解三角形关键是关系式的选择.应用正弦定理“抓边”,即关系式含有已知边或所求边;应用余弦定理“抓角”,即关系式中含有已知角或所求角.(2)若涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解条件多的三角形,再逐步求出其他三角形的边和角,其中常常用到三角形内角和定理,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程求解.(3)在求平面几何中边、角时,要充分利用平面几何的有关知识,如相似三角形的性质、平行四边形的性质等.【题组训练】D1.在△ABC中,若sinB·sinC=cos22A,且sin2B+sin2C=sin2A,则△ABC是()(A)等边三角形(B)直角三角形(C)等腰三角形(D)等腰直角三角形解析:法一sinB·sinC=1cos2A,所以2sinB·sinC=1+cosA=1-cos(B+C),所以cos(B-C)=1,因为B,C为三角形的内角,所以B=C,又sin2B+sin2C=sin2A,所以b2+c2=a2,综上,△ABC为等腰直角三角形.故选D.法二因为sin2B+sin2C=sin2A,所以b2+c2=a2,所以A=π2.B+C=π2,所以sinC=cosB,因为sinBsinC=cos22A,所以sinBsinC=cos2π4=12,即sinBcosB=12,从而B=π4,C=π4,所以△ABC是等腰直角三角形.故选D.(A)15(B)12(C)13(D)14B2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,a=2c,则sinC的最大值为()解析:由余弦定理可得cosC=22121aca=2314cc≥234cc=32,当且仅当c=33时取等号.所以C的最大值为π6,所以sinC的最大值为12.故选B.解析:因为3sinA=5sinB,所以由正弦定理可得3a=5b.因为b+c=2a,所以c=2a-35a=75a.令a=5,则b=3,c=7,则由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得49=25+9-2×3×5cosC,解得cosC=-12,所以C=2π3.3.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=.答案:2π3考点二三角形面积的有关问题【例2】(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.(1)求c;解:(1)由已知可得tanA=-3,所以A=2π3,在△ABC中,由余弦定理28=4+c2-4ccos2π3,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解:(2)由题设可得∠CAD=π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为1πsin2612ABADACAD=1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC=23,所以△ABD的面积为3.方法技巧在解决三角形问题中,面积公式最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.【题组训练】解析:由题意,根据正弦定理得a∶b∶c=2∶3∶4,设a=2t,b=3t,c=4t,根据余弦定理得cosC=222(2)(3)(4)223ttttt=-14;由BC=1,则AC=32,又sinC=211()4=154,根据三角形面积公式得S△ABC=12×1×32×154=31516,从而问题可得解.1.(2018·杭州二模)在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,则cosC=;当BC=1时,则△ABC的面积等于.答案:-1431516则sin∠DBC=sin∠ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则cos∠ABC=14,sin∠ABC=154.所以S△BDC=12BC·BD·sin∠DBC=12×2×2×154=152.因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-14=2222BDBCCDBDBC=288CD,所以CD=10.由余弦定理,得cos∠BDC=41042210=104.2.(2017·浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.解析:依题意作出图形,如图所示.答案:152104【例3】(2018·金华十校模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,已知sinA=sin(B-C)+2sin2B,B≠π2.(1)求证:c=2b;考点三正、余弦定理及面积的综合应用(1)证明:由sinA=sin(B-C)+2sin2B,有sin(B+C)=sin(B-C)+4sinBcosB,展开化简得cosBsinC=2sinBcosB,又因为B≠π2,所以sinC=2sinB,由正弦定理得c=2b.(2)解:因为△ABC的面积S=5b2-a2,所以有12bcsinA=5b2-a2,由(1)知c=2b,代入上式得b2sinA=5b2-a2,①又由余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA=5b2-4b2cosA,代入①得b2sinA=4b2cosA,所以tanA=4.(2)若△ABC的面积S=5b2-a2,求tanA的值.方法技巧在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,与另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题解法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.1.(2017·湖州、衢州、丽水三市高三4月联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=7,c=3,A=60°,则b=,△ABC的面积S=.解析:由a2=b2+c2-2bccosA,得(7)2=b2+32-6bcos60°,解得b=1或2,S△ABC=12bcsinA=12×1×3×32=334或S△ABC=12bcsinA=12×2×3×32=332.【题组训练】答案:1或2334或3322.(2017·嘉兴一模)在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若A满足2cos2A+cos（2A+π3）=-12.(1)求A的值;解:(1)在△ABC中,因为2cos2A+cos（2A+π3）=-12,所以(1+cos2A)+cos（2A+π3）=-12,即1+cos2A+cos2Acosπ3-sin2Asinπ3=-12,所以32sin2A-32cos2A=32,所以12sin2A-32cos2A=32,即sin（2A-π3）=32,又△ABC是锐角三角形,所以0Aπ2,所以-π32A-π32π3,所以2A-π3=π3,所以A=π3.(2)若c=3,△ABC的面积为33,求a的值.解:(2)c=3,且△ABC的面积为S△ABC=12bcsinA=32b×32=33,解得b=4,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=42+32-2×4×3×12=13,所以a=13.阅卷评析【典例】(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=66b,sinB=6sinC.正余弦定理应用(1)求cosA的值;解:(1)在△ABC中,由sinbB=sincC及sinB=6sinC,可得b=6c,…………………………………………2分又由a-c=66b,得a=2c,……………………………4分所以cosA=2222bcabc=22226426cccc=64.………7分解:(2)在△ABC中,由cosA=64,可得sinA=104.……………………8分于是cos2A=2cos2A-1=-14,…………………………………………………9分sin2A=2sinA·cosA=154.……………………………………………10分所以cos（2A-π6）=cos2Acosπ6+sin2Asinπ6=（-14）×32+154×12=1538.…………………………………12分(2)求cos（2A-π6）的值.【答题启示】(1)题目中给出的两个条件一个是边的关系,另一个是角的关系,我们可以利用两个定理对其中的某一个式子进行转化,把两个式子都转化到边或者都转化到角,即可将问题快速解决.(2)考查三角恒等变换,在三角形中进行的三角恒等变换要注意一些条件,如A+B与C互补,角的正弦值都是正数,角的余弦值的正负要进行判断,有可能存在多解的情况等.