2019年春八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形课

18.2.3正方形1.正方形的性质正方形的四条边都,四个角都是;正方形既是矩形又是菱形,它既有矩形的性质,又有菱形的性质.2.正方形的判定(1)有一组邻边的矩形是正方形.(2)有一个角是的菱形是正方形.3.正方形的轴对称性正方形是轴对称图形,它有条对称轴,分别是两条所在的直线和过对边两个的直线.相等直角相等直角四对角线中点探究点一:正方形的性质【例1】(2018遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AEBE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;【导学探究】1.证△OAM≌可得OM=ON.△OBN(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,所以∠OAM=∠OBN=135°.因为∠EOF=90°,∠AOB=90°,所以∠AOM=∠BON,在△OAM与△OBN中,∠AOM=∠BON,OA=OB,∠OAM=∠OBN,所以△OAM≌△OBN,所以OM=ON.(2)解:如图,过点O作OH⊥AD于点H.因为正方形ABCD的边长为4,所以OH=HA=12AD=12×4=2.因为E为OM的中点,OH∥AE,所以HM=2HA=4,则OM=22OHHM=2224=25,因为OM=ON,所以MN=2OM=2×25=210.(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.【导学探究】2.作OH⊥AD,求OM的长可得到MN=OM.2(1)在正方形中,证明线段相等,通常证明三角形全等;(2)在正方形中,计算线段的长度,往往需要借助勾股定理和等腰直角三角形的性质.【例2】(2018舟山)如图,等边△AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.求证:矩形ABCD是正方形.探究点二:正方形的判定【导学探究】1.要证明矩形ABCD是正方形,只要证明AB=.2.证明△ABE≌△ADF,可得.ADAB=AD证明:因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠D=∠C=90°.因为△AEF是等边三角形,所以AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°,因为∠CEF=45°,所以∠CFE=∠CEF=45°,所以∠AEB=∠AFD=180°-45°-60°=75°,在△ABE与△ADF中,∠B=∠D,∠AEB=∠AFD,AE=AF,所以△ABE≌△ADF,所以AB=AD,所以矩形ABCD是正方形.(1)已知菱形,可证明一个内角为直角得到正方形;(2)已知矩形,可证明一组邻边相等得到正方形.1.下列说法正确的是()(A)有一个角是直角的四边形是正方形(B)有一组邻边相等的四边形是正方形(C)有一组邻边相等的矩形是正方形(D)四条边都相等的四边形是正方形2.(2018石家庄期中)若正方形的对角线长为2cm,则这个正方形的面积为()CB(A)4cm2(B)2cm2(C)2cm2(D)22cm23.▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥BD,请添加一个条件:.,使得▱ABCD为正方形.∠BAD=90°(答案不唯一)4.(2018会宁模拟)如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,点F在BE上,AF=AB,连接BD,FD,若∠BAF=58°,则∠BDF的度数为.29°5.如图,已知正方形ABCD,P是对角线AC上任意一点,E为AD上的点,且∠EPB=90°,PM⊥AD,PN⊥AB,垂足分别为M,N.(1)求证:四边形PMAN是正方形;证明:(1)因为四边形ABCD是正方形,所以∠BAD=90°,AC平分∠BAD,因为PM⊥AD,PN⊥AB,所以PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°,所以四边形PMAN是正方形.(2)求证:EM=BN.证明:(2)由(1)中证明可知PM=PN,∠MPN=90°,因为∠EPB=90°,所以∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°,所以∠MPE=∠NPB,在△EPM和△BPN中,90,,,PMEPNBPMPNMPENPB所以△EPM≌△BPN(ASA),所以EM=BN.