2019版九年级数学下册 第二章 二次函数 2.5 二次函数与一元二次方程教学课件 （新版）北师大版

5二次函数与一元二次方程【基础梳理】1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况2_______________1_______________0_________两个不等实数根两个相等实数根无实数根2.一元二次方程的图象解法二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的_______就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的___.横坐标根【自我诊断】1.判断对错:(1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴一定有交点.()(2)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在x轴上,则相对应的一元二次方程ax2+bx+c=0由两个相等的实数根.()×√2.二次函数y=x2-2x+1与x轴的交点的个数是()A.0B.1C.2D.33.方程x2-5x+4=0的根为x1=__,x2=__.二次函数y=x2-5x+4与x轴的交点是___________.B14(1,0)(4,0)知识点一二次函数与一元二次方程的关系【示范题1】(2017·天门中考)已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+(m2+1)=0有实数根.(1)求m的值.12(2)先作y=x2-(m+1)x+(m2+1)的图象关于x轴的对称图形,然后将所作图形向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写出变化后图象的解析式.(3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时,求n2-4n的最大值和最小值.12【思路点拨】(1)由题意Δ≥0,列出不等式,解不等式即可.(2)画出翻折、平移后的图象,根据顶点坐标即可写出函数的解析式.(3)首先确定n的取值范围,利用二次函数的性质即可解决问题.【自主解答】(1)对于一元二次方程x2-(m+1)x+(m2+1)=0,Δ=[-(m+1)]2-2(m2+1)=-m2+2m-1=-(m-1)2,∵方程有实数根,∴-(m-1)2≥0,∴m=1.12(2)由(1)可知y=x2-2x+1=(x-1)2,图象如图所示:平移后的解析式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.(3)由消去y得到x2+6x+n+2=0,由题意Δ≥0,∴36-4n-8≥0,∴n≤7,∵n≥m,m=1,∴1≤n≤7,2y2xnyx4x2，，令y′=n2-4n=(n-2)2-4,∴当n=2时,y′的值最小,最小值为-4,当n=7时,y′的值最大,最大值为21,∴n2-4n的最大值为21,最小值为-4.【微点拨】二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0之间的关系1.b2-4ac0⇔抛物线与x轴有2个交点⇔方程有两个不相等的实数根.2.b2-4ac=0⇔抛物线与x轴有1个交点⇔方程有两个相等的实数根.3.b2-4ac0⇔抛物线与x轴没有交点⇔方程没有实数根.知识点二利用二次函数求一元二次方程的近似根【示范题2】(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象.(2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2-2x=1的根在图上近似地表示出来(描点).(3)观察图象,直接写出方程x2-2x=1的根.(精确到0.1)【思路点拨】(1)确定顶点坐标和与x轴,y轴交点,作出图形.(2)方程x2-2x=1的根就是二次函数y=x2-2x的函数值为1时的横坐标x的值.(3)观察图象可知图象交点的横坐标即为方程的根.【自主解答】(1)如图,y=x2-2x=(x-1)2-1,作出顶点,作出与x轴的交点,图象光滑.(2)正确作出点M,N如图.(3)方程的根为-0.4,2.4.【备选例题】利用二次函数的图象求一元二次方程9x2-6x-5=0的近似根.(精确到0.1)【自主解答】画出抛物线y=9x2-6x-5的图象:由图象可知,方程有两个根,一个在-1和0之间,一个在1和2之间.利用计算器探索:x…-0.5-0.4…y…0.25-1.16…x…1.11.2…y…-0.710.76…所以方程的近似根是x1=-0.5,x2=1.1.【微点拨】求一元二次方程近似根的“四步法”【纠错园】已知关于x的函数y=(m+6)x2+(2m-1)x+m+1的图象与x轴有交点,求m的取值范围.【错因】_______________________________________________________________________题意理解有错,忽略了“函数”的条件,应分一次函数与二次函数两种情况讨论.