2019版九年级数学下册 第二十七章 相似 27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定（第

27.2.1相似三角形的判定第4课时这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？三个内角对应相等.观察你与老师的直角三角尺,相似吗？1.理解定理“如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似”.2.能灵活地选择定理判定三角形相似.画两个三角形，使三个角分别为60°，45°,75°.①分别量出两个三角形三边的长度；②这两个三角形相似吗?即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．相似一定需三个角对应相等吗？ABCA′C′B′已知：在△ABC和△A′B′C′中,AA,BB求证:△ABC∽△A′B′C′【证明】在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A′B′,AE=A′C′，连结DE。ABCA′C′B′DE∵AD=A′B′,∠A=∠A′，AE=A′C′∴△ADE≌△A′B′C′，∴∠ADE=∠B′，又∵∠B′=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴△ADE∽△ABC。∴△A′B′C′∽△ABC相似三角形的判别方法：两角分别相等的两个三角形相似．如果两个三角形仅有一组角是对应相等的，那么它们是否一定相似？一角对应相等的两个三角形不一定相似。CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用数学符号表示：相似三角形的判别(两个角分别相等的两个三角形相似.)【例1】弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD.ABCDPO【证明】连接AC、DB∵∠A和∠D都是所对的圆周角，∴∠A=∠D.同理∠C=∠B.∴△PAC∽△PDB.PAPC.PDPB即PA·PB=PC·PD.CB【例题】【例2】如图所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．C'B'A'CBA【解析】∵∠B＝∠B′＝90°（已知），∠A＝∠A′（已知），∴△ABC∽△A′B′C′（两角分别相等的两个三角形相似．）ABCED1.在△ABC中，D、E分别是BA、CA延长线上的点，且DE∥BC，试说明△ABC与△ADE相似．【解析】∵DE∥BC（已知）∴∠AED＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠EAD＝∠CAB.（对顶角相等）∴△ADE∽△ABC.（两角分别相等的两个三角形相似.）【跟踪训练】【解析】∵∠A=∠A，∠ABD=∠C∴△ABD∽△ACB∴AB:AC=AD:AB∴AB2=AD·AC∵AD=2，AC=8∴AB=42.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.ABCDABCDEABCDEOCBADOCDABABCDE常见的相似图形已知：△ABC∽△A1B1C1.1111,ABBCkABBC求证：你能证明吗？HLABCA1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.【探究】如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。ABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么A1B1C11111,ABBCkABBC在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中，相似三角形的判别方法有那些？方法1：通过定义方法5：两角分别相等.三个角对应相等三边对应成比例方法3：三边对应成比例.方法4：两边成比例且夹角相等.方法2：平行于三角形一边的直线.ABDC图11.填一填（1）如图1，点D在AB上，当∠＝∠时，△ACD∽△ABC.（2）如图2，已知：点E在AC上，若点D在AB上，且满足条件，就可以使△ADE与原△ABC相似.ABCE图2ACDB(或者∠ACB＝∠ADC)DE‖BCD(或者∠C＝∠AED)(或者∠B＝∠ADE)2．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．【解析】∵DE:EA=2:3∴DE:DA=2:5∵EF∥AB∴△DEF∽△DAB∴DE:DA=EF:AB即2:5=4:AB∴AB=10即CD=103.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.AEFBCD【解析】∵DE∥BC，EF∥AB（已知），∴∠ADE＝∠B＝∠EFC,（两直线平行同位角相等）∠AED＝∠C.（两直线平行同位角相等）∴△ADE∽△EFC.（两角分别相等的两个三角形相似.）【解析】∵∠A=∠A，∠ABD=∠C∴△ABD∽△ACB∴AB:AC=AD:AB∴AB2=AD·AC∵AD=2，AC=8∴AB=4.4.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.ABCD【解析】（1）△ABC与△FOA相似.因为直线l垂直平分线段AC，所以∠AFO=∠CFO=∠BAC，又∠AOF=∠ABC＝90°，所以△ABC与△FOA相似.（２）四边形AFCE是菱形，△AOE≌△COF，所以AE＝CF，又AE＝CE，AF＝CF，所以，AE＝CE＝AF＝CF，所以四边形AFCE是菱形.5.（泰州·中考）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F,连接AF，CE.（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由.l（第24题图）EFOCDAB只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西.——塞内加