2019版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 4 角平分线（第1课时）教学课件 （新版）北师大版

第1课时4角平分线1．能够证明和灵活运用角平分线性质定理和判定定理.2．能够用尺规作已知角的平分线.还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的?与小组同学交流.角平分线上的点到角两边的距离相等.证明：角平分线上的点到角两边的距离相等.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).AOCB12PDE定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).AOCB12PDE【结论】你能写出下面这个定理的逆命题吗?性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.如果有一个点到角的两边距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是，请举出反例．不是真命题，是假命题．在角的外部，也存在到角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上．角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．它是真命题吗?如果是，请你证明它．【例1】已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，求证：点P在∠AOB的平分线上．【证明】∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．AOCB12PDE【例题】判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),且PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)AOCB12PDE【结论】（柳州·中考）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是()A．5cmＢ.4cmＣ.3cmＤ.2cm【解析】选C.∵BD平分∠ABC，∠C＝90°,∴点D到AB的距离DE＝CD＝3cm.【跟踪训练】你能用什么办法平分一个已知角呢？1．可以用量角器．2．使用三角尺，也可以平分一个已知角．3．用直尺和圆规平分一个已知角．4.用折纸的办法也可以平分一个已知角．你能说明射线OC为什么是∠AOB的平分线吗？【例2】已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.用尺规作角的平分线.作法:1.在OA和OB上分别截取OE,OD,使OE=OD.2.分别以点D和E为圆心,以大于长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.则射线OC就是∠AOB的平分线.ABOC【例题】DE2下列作法中，不能得到∠ABC的平分线的是（）A.在∠ABC的边AB，BC上各取一段BE＝BF,连接EF的中点D和顶点BB.在∠ABC内找一点D,满足点D到BC的距离等于BDC.在∠ABC内找一点D,使∠ABD＝∠CBDD.在∠ABC内找一点D,使D到BC,BA的距离相等【跟踪训练】【解析】选B.A项由“SSS”得△BDE≌△BDF,∴∠EBD＝∠FBD,∴BD是∠ABC的平分线；C项由∠ABD＝∠CBD可得BD是∠ABC的平分线；D项由角平分线的判定定理可知BD是∠ABC的平分线；B项条件不足，不能判定BD是∠ABC的平分线.1.（河源·中考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．按以下步骤作图：①以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D；②分别以D，E为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点P；③连接AP交BC于点F．那么：(1)AB的长等于______(直接填写答案).(2)∠CAF＝______°(直接填写答案)．1DE2ABCDEFP【解析】（1）∵∠C＝90°，∠BAC＝60°,∴∠B＝90°－∠BAC＝30°,∴AB＝2AC＝4,（2）∵AF平分∠BAC，∴∠CAF＝30°.答案：（1）4（2）302.如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD，BC相交于E，且EA=EB.求证：EO为∠AOB的平分线.【证明】∵AD⊥OB,BC⊥OA,∴∠BDE＝∠ACE＝90°,又∵∠BED＝∠AEC,EB＝EA,∴△BDE≌△ACE.∴DE=CE.∴EO为∠AOB的平分线.1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角平分线的判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.3.用尺规作角平分线.诚实无须假手于笔墨，美丽无须借助于粉黛。——莎士比亚