2019版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1 等腰三角形（第2课时）教学课件 （新版）北师大版

第2课时1等腰三角形1.掌握证明的基本步骤和书写格式.2.经历“探索、猜想、证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理.3.结合实例体会反证法的含义．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合．等腰三角形的两个底角相等.简称:等边对等角.顶角ABC底边腰腰底角底角【定义】【性质定理】【性质定理的推论】有两边相等的三角形叫做等腰三角形.(简称:“三线合一”)等腰三角形知识回顾ACB你能证明你的结论吗？画一画:先画一个等腰三角形,然后在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高线)，你能发现其中一些相等的线段吗？等腰三角形还具有哪些重要的性质?除了用定义来判定三角形是等腰三角形外,还有哪些简单的方法来判定三角形是等腰三角形?结论1.三线合一2.底角的两条平分线相等3.两条腰上的中线相等4.两条腰上的高线相等图例ADCBACBDEACBMNACBQP【结论】【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等．ACBDE已知:求证:BD=CE.如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线．12【例题】∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).【证明】21∠2=∠ACB(已知),又∵∠1=∠ABC，21∴∠1=∠2(等式性质)．在△BDC与△CEB中，∵∠DCB=∠EBC（已知），BC=CB（公共边），∠1=∠2（已证），∴△BDC≌△CEB（ASA）．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．ACBDE12又∵CM=，BN=(已知），1AB2证明:等腰三角形两腰上的中线相等．BM=CN．求证:已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线．AC21【证明】∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．(全等三角形的对应边相等).∴CM=BN(等式的基本性质)．在△BMC与△CNB中，∵BC=CB（公共边）,∠MCB=∠NBC（已知）,CM=BN（已证）,∴△BMC≌△CNB（SAS）．∴BM=CNACBMN【跟踪训练】ACBDE1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.（1）如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗?为什么？（2）如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此你能得到一个什么结论?【议一议】12121313如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗?1n1n2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?为什么？ACBDE由此你能得到一个什么结论?数学方法：特殊到一般的思想方法1212如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗？1n1n3.前面已经证明了“等边对等角”，反过来，“等角对等边”吗?即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?ACB已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C．求证:AB=AC．要证明AB=AC,只要能构造出AB，AC所在的两个三角形全等就可以了.请与小组内同学交流.分析:作∠A的平分线或作BC边上的高．作BC边上的中线可以吗？有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．这又是判定两条线段相等的依据之一.请同学们注意运用哦！等腰三角形的判定定理在△ABC中，∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）．ACB【结论】两个角相等的三角形是等腰三角形,那么在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对的边有什么关系呢？CAB你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗?请与小组内同学交流．在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AC≠AB．不相等.【猜想】CAB分析：如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时,AC与AB要么相等,要么不相等.证明：假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C，但已知条件是∠B≠∠C．“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此，AB≠AC．论证命题的新思维与新方法先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法．反证法是一种重要的数学证明方法，在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.论证的新方法——反证法【证明】假设这五个数中没有一个大于或等于,即都小于,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此,这五个数中至少有一个大于或等于.【例2】求证:如果a1，a2，a3，a4，a5都是正数，且a1+a2+a3+a4+a5=1，那么，这五个数中至少有一个大于或等于．【例题】151515151.假设:先假设命题的结论不成立.2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果;3.结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确．【规律方法】用反证法证题的一般步骤1.（宁波·中考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()A．5个B．4个C．3个D．2个EDCBA【解析】选A.∵AB＝AC,∴△ABC是等腰三角形.又∵∠A＝36°,∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－36°)÷2＝72°.∵BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线,∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°,∠BCE＝∠DCE＝∠ACB＝36°.∴∠A＝∠ABD,∠CBD＝∠BCE,∴△ABD，△BCE是等腰三角形.∵∠CDE＝∠A＋∠ABD＝72°,∠DEC＝∠CBD＋∠BCE＝72°,∴∠CDE＝∠DEC＝∠ACB.∴△CDE、△BCD是等腰三角形.∴一共有5个等腰三角形.12122.（通化·中考）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°【解析】选C.因为“必有一个内角小于或等于60°”的反面是“没有一个内角小于或等于60°”，即“每一个内角都大于60°”.3.（日照·中考）一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A，B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C最多有______个．【解析】当C点的坐标为（，0）或（，0）时，AB=AC,当C点的坐标为（4,0)时，AB=BC；当C点的坐标为（0，0）时，AC=BC.所以C点共有4个.答案：44244244.（衡阳·中考）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵D为AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝30°,∵CE＝CD,∴∠E＝∠CDE,又∵∠ACB＝∠E＋∠CDE,∴∠E＝∠ACB＝30°,∴∠DBC＝∠E,∴BD＝DE.12121.观察、探索、发现并证明等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论.2.等腰三角形的判定定理“等角对等边”.3.了解反证法．真理的大海，让未发现的一切事物躺卧在我的眼前，任我去探寻。——牛顿