2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.2 充要条件课件 新人教A

集合与常用逻辑用语第一章1．4充分条件与必要条件1．4.2充要条件课前自主预习1．掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法．2．能够写出命题的充分条件、必要条件及充要条件．3．会对某些命题的充要条件进行证明．充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的，简称为充要条件．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为p⇒q充分必要条件充要条件．温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇔q，则p是q的充要条件．③若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．④若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．⑤若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．(2)“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．1．通常我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，即“四边形的两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的什么条件，你还能写出“四边形是平行四边形”的其他充要条件吗？[答案]充要条件两组对边分别相等的四边形、对角线互相平分的四边形等2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(2)符号“⇔”具有传递性．()(3)若p⇒/q和q⇒/p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．()(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√课堂互动探究题型一充要条件的判断【典例1】在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.[思路导引]判断是否p⇒q，q⇒p.[解](1)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．[变式]已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？[解]作出“⇒”图，如右图所示，可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.判断p是q的充分必要条件的2种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．(2)集合角度：当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．情形如下：记命题p：集合A，命题q：集合B.①若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．②若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p，q互为充要条件．④若A⃘B且B⃘A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度．[针对训练]1．指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；(2)已知实数a，b，p：a0且b0，q：a＋b0且ab0；(3)p：α2，β2，q：α＋β4，αβ4.[解](1)因为A∪B＝A⇔B⊆A，而A∩B＝B⇔B⊆A，所以A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件．(2)由a0且b0⇒a＋b0且ab0，并且由a＋b0且ab0⇒a0且b0，所以p是q的充要条件．(3)由α2，β2，根据不等式的性质可得α＋β4，αβ4.即p⇒q，而由α＋β4，αβ4不能推出α2，β2.如：α＝1，β＝5满足α＋β4，αβ4，但不满足α2.所以p是q的充分不必要条件.【典例2】已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．[思路导引]从充分性、必要性两方面证明．[证明]①充分性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0.∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．充要条件的证明证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．[针对训练]2．已知a，b是实数，求证：a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．[证明]因为a2－b2＝1，所以a4－b4－2b2＝(a2－b2)·(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1.即a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．另一方面，若a4－b4－2b2＝1，即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，a4－(b2＋1)2＝0，(a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0.又a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.因此a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的必要条件.题型三探求充要条件【典例3】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[思路导引]至少有一个负根可能是一个负根也可能是两个负根，需要分类讨论．[解]①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－12，符合要求．②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2a，x1x2＝1a.(ⅰ)方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为a≤1，1a0⇒a0；(ⅱ)方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件为a≤1，－2a0，1a0⇒0a≤1.综上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.探求充要条件的2种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．[针对训练]3．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．[解]方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：⇔Δ＝2k－12－4k2≥0，x1－1x2－10，x1－1＋x2－10⇔k≤14，x1x2－x1＋x2＋10，x1＋x2－20⇔k≤14，k2＋2k－1＋10，－2k－1－20⇔k－2.所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k－2.课堂归纳小结1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．2．充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.